球面のホモトピー群

球面のホモトピー群は非常に複雑であるが, CW複体のホモトピー型, よって多様体など, 主要な空間をホモトピー論的に調べるときには, 基本的なデータになる。 定義は簡単であるが故に, 逆にどこから手をつけてよいのか分かりづらい。

まず安定ホモトピー群と非安定ホモトピー群があるが, 安定ホモトピー群の方が扱い易い。 調べ方も大きく異なる。

• 球面の安定ホモトピー群
• 球面の非安定ホモトピー群

安定ホモトピー群と非安定ホモトピー群を繋ぐものとして, EHP sequence, そしてそれを spectral sequence とみなした EHP spectral sequence がある。

• EHP sequence
• EHP spectral sequence

球面のホモトピー群を完全に決定することが難しいことから, せめて大体どれくらいの大きさかを知りたくなるが, それについては, 非安定ホモトピー群で調べられているのが, いわゆる exponent の問題である。

• exponent problem

これは, \(n\)次元球面の場合に, 全ての \(p\)-torsion を一様に \(p^{e}\) で消すような \(e\) を \(n\) の関数として求める, という問題であるが, \(n\to \infty \) とすると \(e\to \infty \) であることが知られているので, 安定ホモトピー群では別の評価が必要になる。つまり, \(k\)次安定ホモトピー群 \(\pi _{k}(S)\) の大きさを \(k\) の関数で上から評価したいが, それについては Burklund の [BS] が出た。その Appendix A で, Senger との共著として非安定ホモトピー群の場合も考えている。 関連して, Boyde [Boy] が Goodwillie calculus の Taylor tower のホモトピー群の評価を考えている。

References

[Boy]

Guy Boyde. Growth of homotopy groups of spheres via the Goodwillie-EHP Sequence. arXiv: 2201.08100.

[BS]

Robert Burklund and Andrew Senger. How Big are the Stable Homotopy Groups of Spheres? arXiv: 2203.00670.