Configuration space のホモロジー

Configuration space のホモロジーについて, まず Euclid空間の場合は以下の結果がある。

• Fred Cohen [CLM76] による \(H_*(\mathrm {Conf}_k(\R ^n))\) の決定

Euclid空間の configuration space のホモロジーを計算する方法は, 他にも色々ある。 複素平面の configuration space については, real central arrangement の complexification の complement と考えて, そのホモトピー型を表す Salvetti complex を使うことができる。Sinha の [Sin] では, operad の視点からの計算が述べてある。

Euclid空間の configuration space の一般化としては, 二つの方向が考えられる。 Euclid空間を他の空間に取り替えたものと「互いに異なる点」という条件を別の条件に変えたものである。

条件を変えたものの代表が, hyperplane arrangement の complement である。 ホモトピー論に関係があるものとして, Cohen と Kamiyama [CK07] の “center of mass configuration” がある。Gray の Cohen-Moore-Neisendorfer の結果の一般化を目指すプログラムに関係があり, 興味深い。 最も簡単な場合の計算については, [Tam12] に書いた。

空間を変える場合は, 多様体を考えることが多いようである。

• Bödigheimer と Cohen と Tayler [BCT89] による多様体の configuration space の Betti 数の記述
• Böigheimer と Cohen [BC88] による, 曲面の configuration space の rational cohomology の計算
• Feichtner と Ziegler [FZ00; FZ02] による球面の configuration space の integral homology の決定
• Gonzalez と Landweber と Dominiguez [DGL13a; DGL13b] による実射影空間の2点の configuration space の integral cohomology の決定

Bödigheimer と Cohen (と Taylor) の方法は, \(k\)点の cofiguration space それぞれを個別に考えるのではなく, \(k\) に関して集めて多重ループ空間のホモロジーと関係づけて考える, という点でユニークである。

一般の多様体の configuration space のホモロジーを計算するための道具として, 次のようなスペクトル系列がある。

• Cohen と Taylor [CT78] による \(H^*(\mathrm {Conf}_k(M))\) に収束するスペクトル系列の構成, および Gel’fand-Fuks cohomology との関連
• Bendersky と Gitler [BG91] による \(H^*(\mathrm {Conf}_k(M))\) に収束するスペクトル系列の構成

Cohen-Taylor のスペクトル系列と Bendersky-Gitler のスペクトル系列の関係については, Felix と Thomas の [FT04] に書いてある。

代数多様体の rational cohomology については, Kriz [Křı́94] が dg algebra model を構成している。 また Totaro が [Tot96] で調べている。そこでは, Leray spectral sequence が使われている。その \(E_2\)-term の記述は, 代数多様体でなくても使える。 また Ashraf と Azam と Berceanu の [AAB14] によると, Kriz のモデルは Lambrecht と Staley [LS08] により cohomology が Poincaré duality を持つ空間の configuration space に一般化されている。Ashraf らは, Kriz-Lambrechts-Stanley model への対称群の作用を考えている。

• Krizの rational model
• Lambrechts-Stanley model
• Totaro による inclusion \(\mathrm {Conf}_k(X) \hookrightarrow X^k\) の Leray spectral sequence の \(E_2\)-term の記述と有理数係数の場合の解析

単体的複体の場合には, Gal による Euler標数の公式 [Gal01] がある。

• Gal の公式

Configuration space の局所係数のコホモジーは, 幾何学的 (代数的) 意味付けがあったりする。例えば, Frenkel と Kirillov と Varchenko の [FKV97] など。

\(\mathrm {Conf}_k(M)\) には, 自然に対称群 \(\Sigma _k\) が作用するが, その作用による商空間 \(B(M,k) = \mathrm {Conf}_k(M)/\Sigma _k\) のホモロジーの方がよくわかっている。例えば, Kallel は [Kal] で, 今までに知られている結果の精密化やコホ モロジー次元などについて述べている。

あるいは, 対称群で割る前の \(H_*(\mathrm {Conf}_k(M))\) を \(\Sigma _k\)-module, つまり \(\Sigma _k\) の表現とみなすことも考えられている。 d’Antonio と Gaiffi [dG10] によると, \(M=\R ^n\) のときには, この表現を調べたものとして, \(n=2\) のときは Lehrer と Solomon の [LS86], Lehrer の [Leh87], 一般の \(n\) では Cohen と Taylor の [CT93], Lehrer の [Leh00] などがある。

更に, d’Antonio と Gaiffi によると, この表現は \(\Sigma _{k+1}\) の表現に拡張でき, その方法が少なくとも3通り知られているようである。Gaiffi の [Gai96], Mathieu の [Mat96], Robinson と Whitehouse の [RW96] である。

Church と Ellenberg と Farb [CEF15] は, より一般に, 有限集合と単射の成す圏 \(\bm {FI}\) の表現, つまり FI-module とみなすことを提案している。

• FI-module

この FI-module という道具は, 様々な点の個数の configuration space をまとめて考えるときには有効にようである。

新しい道具としては, factorization homology もある。Knudsen の [Knu17] などで使われている。

Knudsen は, Hess との共同研究 [HK22] で parallelizable manifold の直積 \(M\times N\) の configuration space のホモロジーを \(M\) の configuration space のホモロジーと \(N\) の configuration space のホモロジーから計算する spectral sequence を構成している。\(E^{2}\)-term は, Dwyer と Hess の [DH14] で導入された operadic module の derived Boardman-Vogt tensor product を用いて記述される。

他の moduli space も含めた, \(k\to \infty \) のときのホモロジーの stability について, Randal-Williams が [Ran16] で調べている。

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