群の(コ)ホモロジーに関する一般的なこと

群のホモロジーやコホモロジーと代数的トポロジーの関係としては, 次が基本的である。

• 離散群 \(G\) と\(k[G]\)-module \(M\) に対し, 次の同型がある: \[ H^n(G;M) \cong H^n(BG;M) \] ここで右辺は \(G\) の分類空間 \(BG\) の \(\pi _1(BG)\cong G\)-module \(M\) に係数を持つ (局所係数の) 特異ホモロジーである。
• 特に \(M\) が自明な \(G\)-module の時, 次の同一視を得る \[ H^n(G;M) \cong [BG,K(M,n)] \] ここで, \(K(M,n)\) は \((M,n)\) 型の Eilenberg-Mac Lane space である。

よって, 群のコホモロジーに関することを, 空間レベルあるいは stable homotopy category での構成に翻訳できることが多い。例えば, transfer は stable homotopy category での分類空間の間の morphism として構成できる。 このことからも分かるように, 分類空間のホモトピー論は, 群のコホモロジーを調べる際に重要な道具である。 また群の拡大に対する Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence は, fibration に対する Serre spectral sequence の類似である。

• 群のコホモロジーにおける transfer
• 分類空間のホモトピー論
• Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence

Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence に対しては, Charlap と Vasquez [CV69] が, \(E_2\)-term の特性類を定義している。その結果は, Sah [Sah74] により, 一般の \(E_r\)-term に拡張され, Degrijse と Petrosyan [DP11] により split Hopf algebra extension に拡張されている。

Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence の一般化としては, Fei Xu [Xu08] による small category の extension に対するものがある。 その一般化として Yalcin の [Yal] がある。

分類空間の構成に対応する代数的な構成は bar resolution であるが, 実際に群のコホモロジーを計算するときには, bar resolution を用いることはほとんどない。 あまりにも大きすぎるからである。Heß と Ozornova の [HO] によると, Bödigheimer とその学生だった Visy が, bar resolution をより小さな chain complex に潰せる条件を発見している。 彼等は対称群の場合を調べていて気がついたらしいが, その条件を一般化して factorable group という概念を定義している。

• factorable group

Visy の thesis は ここで公開されている。 他にも Bödigheimer の学生が factorable group や関連したことを色々調べている。 Wang の thesis では factorable small category が, Heß の thesis では factorable monoid が定義されている。

群のホモロジーの解釈としては, まず\(1\)次のホモロジーが可換化であるということを知っておくべきだろう。 \(2\)次のホモロジーの解釈は Hopf によるらしい。

• \(H_1(G;\Z )=G/[G,G]\)
• Hopfの公式 [Hop42]

Hopf の公式を一般化しようという試みは様々な人により行われている。 [Con85; Stö89; Ell90; EGV08] など。 偶数次の部分については, Emmanouil と Mikhailov の [EM08] の free presentation のなす category 上の limit としての表示もある。 Ivanov と Mikhailov [IM15] は, その全ての次数への拡張を limit の derived functor を用いて得ている。Quillen による cyclic homology の記述 [Qui89] も一般化するものであり興味深い。

離散群 \(G\) に対しては, \(BG = K(G,1)\) であり, Eilenberg-Mac Lane空間 \(K(G,1)\) のコホモロジーは群のコホモロジーである。 よって群の拡大を用いた解釈ができる。 より一般に, \(K(G,n)\) のコホモロジーについても, 何か代数的に解釈ができないか, というのは自然な疑問である。 その疑問に対する一つの答えとして Loday の結果 [Lod82] がある。

• \(\mathrm {cat}^{n}\)-group を用いた \(H^n(G;A)\) と \(H^n(K(G,k);A)\) の解釈

他には, Breen の [Bre99]がある。高次の monoidal category との関係を考察している。

Stallings は [Sta65] で, 低次の群の homology が同型になるときの lower central series の間の関係を調べている。これらは, knot や link の complement など, \(3\)次元多様体の基本群を調べるときに有効らしい。

その一般化として, Bousfield の [Bou77] や Dwyer の [Dwy75] という論文もある。その derived series などを用いた一般化を Cochran と Harvey が色々考えている。 [CH05; CH08b; Har08; CH08a] である。これらもトポロジーへの応用を念頭に置いたものである。彼らは [CH10] では, 一般に群の filtration (列) が準同形の class で stable であるための条件を考えている。

Equivariant group cohomology というものも定義できる。Inassaridze の [Ina05] では, Steinberg group に関する equivariant group cohomology と algebraic \(K\)-theory との関係が述べられている。

Crossed module に係数を持つ群のコホモロジーを考えている人もいる。Breen の [Bre90] や Borovoi の [Bor98], そして Noohi の [Noo11] など。

他に, 代数的トポロジーの視点から, 群の(コ)ホモロジーについて知っておいた方がよいことは, 以下のようなことだろうか。

• Kan-Thurston の定理 [KT76]
• 群のコホモロジーを用いた Steenrod operation の定義 [Ben98]

References

[Ben98]

D. J. Benson. Representations and cohomology. II. Second. Vol. 31. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cohomology of groups and modules. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. xii+279. isbn: 0-521-63652-3.

[Bor98]

Mikhail Borovoi. “Abelian Galois cohomology of reductive groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 132.626 (1998), pp. viii+50.

[Bou77]

A. K. Bousfield. “Homological localization towers for groups and \(\Pi \)-modules”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 10.186 (1977), pp. vii+68. url: https://doi.org/10.1090/memo/0186.

[Bre90]

Lawrence Breen. “Bitorseurs et cohomologie non abélienne”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. I. Vol. 86. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 401–476.

[Bre99]

Lawrence Breen. “Monoidal categories and multiextensions”. In: Compositio Math. 117.3 (1999), pp. 295–335. arXiv: math/9809104. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1000928915124.

[CH05]

Tim Cochran and Shelly Harvey. “Homology and derived series of groups”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 2159–2191 (electronic). arXiv: math/0407203. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.2159.

[CH08a]

Tim Cochran and Shelly Harvey. “Homology and derived \(p\)-series of groups”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 78.3 (2008), pp. 677–692. arXiv: math/0702894. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/jdn046.

[CH08b]

Tim D. Cochran and Shelly Harvey. “Homology and derived series of groups. II. Dwyer’s theorem”. In: Geom. Topol. 12.1 (2008), pp. 199–232. arXiv: math/0609484. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.199.

[CH10]

Tim D. Cochran and Shelly Harvey. “Homological stability of series of groups”. In: Pacific J. Math. 246.1 (2010), pp. 31–47. arXiv: 0802. 2390. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2010.246.31.

[Con85]

Bruce Conrad. “Crossed \(n\)-fold extensions of groups, \(n\)-fold extensions of modules, and higher multipliers”. In: J. Pure Appl. Algebra 36.3 (1985), pp. 225–235. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(85)90075-1.

[CV69]

L. S. Charlap and A. T. Vasquez. “Characteristic classes for modules over groups. I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 137 (1969), pp. 533–549.

[DP11]

Dieter Degrijse and Nansen Petrosyan. “Characteristic classes for cohomology of split Hopf algebra extensions”. In: J. Algebra 332 (2011), pp. 366–385. arXiv: 1002 . 0098. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.01.018.

[Dwy75]

William G. Dwyer. “Homology, Massey products and maps between groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 6.2 (1975), pp. 177–190.

[EGV08]

Tomas Everaert, Marino Gran, and Tim Van der Linden. “Higher Hopf formulae for homology via Galois theory”. In: Adv. Math. 217.5 (2008), pp. 2231–2267. arXiv: math/0701815. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.11.001.

[Ell90]

Graham J. Ellis. “Relative derived functors and the homology of groups”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 31.2 (1990), pp. 121–135.

[EM08]

Ioannis Emmanouil and Roman Mikhailov. “A limit approach to group homology”. In: J. Algebra 319.4 (2008), pp. 1450–1461. arXiv: 0812.2092. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.12.006.

[Har08]

Shelly L. Harvey. “Homology cobordism invariants and the Cochran-Orr-Teichner filtration of the link concordance group”. In: Geom. Topol. 12.1 (2008), pp. 387–430. arXiv: math/0609378. url: https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.387.

[HO]

Alexander Heß and Viktoriya Ozornova. Factorability, String Rewriting and Discrete Morse Theory. arXiv: 1412.3025.

[Hop42]

Heinz Hopf. “Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe”. In: Comment. Math. Helv. 14 (1942), pp. 257–309.

[IM15]

Sergei O. Ivanov and Roman Mikhailov. “A higher limit approach to homology theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.6 (2015), pp. 1915–1939. arXiv: 1309.4920. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.07.016.

[Ina05]

Hvedri Inassaridze. “Equivariant homology and cohomology of groups”. In: Topology Appl. 153.1 (2005), pp. 66–89. arXiv: math/0603110. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2004.12.005.

[KT76]

D. M. Kan and W. P. Thurston. “Every connected space has the homology of a \(K(\pi ,1)\)”. In: Topology 15.3 (1976), pp. 253–258.

[Lod82]

Jean-Louis Loday. “Spaces with finitely many nontrivial homotopy groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 24.2 (1982), pp. 179–202. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90014-7.

[Noo11]

Behrang Noohi. “Group cohomology with coefficients in a crossed module”. In: J. Inst. Math. Jussieu 10.2 (2011), pp. 359–404. arXiv: 0902.0161. url: http://dx.doi.org/10.1017/S1474748010000186.

[Qui89]

Daniel Quillen. “Cyclic cohomology and algebra extensions”. In: \(K\)-Theory 3.3 (1989), pp. 205–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00533370.

[Sah74]

Chih Han Sah. “Cohomology of split group extensions”. In: J. Algebra 29 (1974), pp. 255–302.

[Sta65]

John Stallings. “Homology and central series of groups”. In: J. Algebra 2 (1965), pp. 170–181. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(65)90017-7.

[Stö89]

Ralph Stöhr. “A generalized Hopf formula for higher homology groups”. In: Comment. Math. Helv. 64.2 (1989), pp. 187–199. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02564669.

[Xu08]

Fei Xu. “On the cohomology rings of small categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.11 (2008), pp. 2555–2569. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.04.004.

[Yal]

Ergun Yalcin. LHS-spectral sequences for regular extensions of categories. arXiv: 2305.02000.