Kan-Thurston の定理

Kan と Thurston は, [KT76] で, 任意の弧状連結な位相空間 \(X\) に対し, \(X\) とその 分類空間 \(BG\) がホモロジー同値になるような 離散群 \(G\) が存在することを示した。 より正確には, Serre fibration

で \(TX\) が \(K(\pi ,1)\) であり, \(t_{X}\) が任意の 局所係数ホモロジーとコホモロジー で同型を誘導するものが存在することを証明した。\(G=\pi _{1}(X)\) である。 Maunder による短かい証明 [Mau81] もある。

この定理は, 位相空間のホモロジーを調べることは, 代数的な群のホモロジーを調べることと同じであることを言っている。また, 全ての位相空間が \(K(\pi ,1)\) とホモロジー同値になると言ってもよい。

Kan と Thurston は, \(X\) のホモトピー型が \(G_{X}=\pi _{1}(TX)\) と \(P_{X}=\Ker ((t_{X})_{*}: \pi _{1}(TX)\to \pi _{1}(X))\) の組 \((G_{X},P_{X})\) で決まることにも注意している。ここで重要なのは \(P_{X}\) が perfect subgroup であることで, \(P_{X}\) に関する Quillen の plus construction を \(BG_{X}\) に施すことで \(X\) が復元できる。

このことを拡張し, Baumslag と Dyer と Heller [BDH80] は, 連結な基点付き CW複体のホモトピー圏が, 群とその perfect subgroup の圏の localization として得られることを示している。

Kan-Thurston の定理自体には, 次のような, McDuff による一般化および精密化 [McD79] がある。

• 任意の弧状連結な位相空間 \(X\) に対し, \(X\) と \(BM\) が 弱homotopy同値になる (discrete) monoid \(M\) が存在する。

McDuff の結果は, topological category の離散化という視点からの Fiedorowiczによる証明 (構成) [Fie84] もある。Leary による equivariant version [Lea13] もある。

References

[BDH80]

G. Baumslag, E. Dyer, and A. Heller. “The topology of discrete groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 16.1 (1980), pp. 1–47. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90040-7.

[Fie84]

Z. Fiedorowicz. “Classifying spaces of topological monoids and categories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 301–350. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374307.

[KT76]

D. M. Kan and W. P. Thurston. “Every connected space has the homology of a \(K(\pi ,1)\)”. In: Topology 15.3 (1976), pp. 253–258.

[Lea13]

Ian J. Leary. “A metric Kan-Thurston theorem”. In: J. Topol. 6.1 (2013), pp. 251–284. arXiv: 1009.1540. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts035.

[Mau81]

C. R. F. Maunder. “A short proof of a theorem of Kan and Thurston”. In: Bull. London Math. Soc. 13.4 (1981), pp. 325–327. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/13.4.325.

[McD79]

Dusa McDuff. “On the classifying spaces of discrete monoids”. In: Topology 18.4 (1979), pp. 313–320. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(79)90022-3.