Generalized complex geometry

Generalized complex geometry とは何とも大雑把な用語であるが, Hitchin により [Hit03] で考えられた, symplectic geometry と複素多様体の幾何学の, 両方の一般化になっている構造のようである。アイデアは, tangent bundle と cotangent bundle の直和を考えることのようである。 Gualtieri がこれについて thesis [Gua] を書いている。また [Gua11] も書いている。

その motivation は, mirror symmetry による symplectic な情報と holomorphic な情報の関係のようである。実際, Strominger と Yau と Zaslow [SYZ96] が mirror symmetry を T-duality として解釈することを提案しているが, その T-duality が generalized complex geometry で解釈できると言っているのは, Cavalcanti と Gualtieri [CG] である。

Cattaneo と Qiu と Zabzine の [CQZ10] によると, Courant と Weinstein [CW88; Cou90] による Dirac geometry の複素版にもなっているらしい。

References

[CG]

Gil R. Cavalcanti and Marco Gualtieri. Generalized complex geometry and T-duality. arXiv: 1106.1747.

[Cou90]

Theodore James Courant. “Dirac manifolds”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 319.2 (1990), pp. 631–661. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001258.

[CQZ10]

Alberto S. Cattaneo, Jian Qiu, and Maxim Zabzine. “2D and 3D topological field theories for generalized complex geometry”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 14.2 (2010), pp. 695–725. arXiv: 0911.0993. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1288619156.

[CW88]

Ted Courant and Alan Weinstein. “Beyond Poisson structures”. In: Action hamiltoniennes de groupes. Troisième théorème de Lie (Lyon, 1986). Vol. 27. Travaux en Cours. Hermann, Paris, 1988, pp. 39–49.

[Gua]

Marco Gualtieri. Generalized complex geometry. arXiv: math/0401221.

[Gua11]

Marco Gualtieri. “Generalized complex geometry”. In: Ann. of Math. (2) 174.1 (2011), pp. 75–123. arXiv: math/0703298. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.174.1.3.

[Hit03]

Nigel Hitchin. “Generalized Calabi-Yau manifolds”. In: Q. J. Math. 54.3 (2003), pp. 281–308. arXiv: math/0209099. url: http://dx.doi.org/10.1093/qjmath/54.3.281.

[SYZ96]

Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, and Eric Zaslow. “Mirror symmetry is \(T\)-duality”. In: Nuclear Phys. B 479.1-2 (1996), pp. 243–259. arXiv: hep-th/9606040. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(96)00434-8.