Semi-model Categories

Barwick の [Bar] によると, semi-model category という model category を少し弱めた構造は, Spitzweck の [Spi] により導入されたもののようである。 Spitzweck は \(J\)-semi model category と呼んでいるが, White と Yau [WY18] は, semi-model category と呼んでいる。 Barwick [Bar] や Carmona [Car] は, semimodel category と綴っている。

Nuiten [Nui19] は Fresse の monograph [Fre09] を参照している。

Spitzkwick の目的は, monoidal model category での monoid object 上の module や operad 上の algebra の category でホモトピー論を行なうことだったが, その後様々な場面で使われるようになってきた。

例えば, Kapulkin と Lumsdaine [KL18] による intensional type theory の圏の semi-model structure や Nuiten [Nui19] による dg Lie algebroid や \(L_{\infty }\)-algebroid の圏の semi-model structure, Lanari [Lan] による Grothendieck \(3\)-groupoid の圏の semi-model structure などがある。 Frégier と Juárez-Ojeda [FJ] は, singular foliation を調べるために使っている。

Bousfield localization については, Batanin と White の [WB] や Carmona の [Car] がある。Right Bousfield localization については, Barwick [Bar] が調べている。

References

[Bar]

Clark Barwick. On the Dreaded Right Bousfield Localization. arXiv: 0708.3435.

[Car]

Victor Carmona. When Bousfield localizations and homotopy idempotent functors meet again. arXiv: 2203.15849.

[FJ]

Yael Fregier and Rigel A. Juarez-Ojeda. Homotopy theory of singular foliations. arXiv: 1811.03078.

[Fre09]

Benoit Fresse. Modules over operads and functors. Vol. 1967. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2009, pp. x+308. isbn: 978-3-540-89055-3. arXiv: 0704 . 3090. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-89056-0.

[KL18]

Krzysztof Kapulkin and Peter LeFanu Lumsdaine. “The homotopy theory of type theories”. In: Adv. Math. 337 (2018), pp. 1–38. arXiv: 1610.00037. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.08.003.

[Lan]

Edoardo Lanari. A semi-model structure for Grothendieck weak 3-groupoids. arXiv: 1809.07923.

[Nui19]

Joost Nuiten. “Homotopical algebra for Lie algebroids”. In: Appl. Categ. Structures 27.5 (2019), pp. 493–534. arXiv: 1712.03441. url: https://doi.org/10.1007/s10485-019-09563-z.

[Spi]

Markus Spitzweck. Operads, Algebras and Modules in General Model Categories. arXiv: math/0101102.

[WB]

David White and Michael Batanin. Left Bousfield localization without left properness. arXiv: 2001.03764.

[WY18]

David White and Donald Yau. “Bousfield localization and algebras over colored operads”. In: Appl. Categ. Structures 26.1 (2018), pp. 153–203. arXiv: 1503.06720. url: https://doi.org/10.1007/s10485-017-9489-8.