Hurwitz Spaces

\(\CP ^{1}\) や \(\bbC \) の 分岐被覆の moduli space を Hurwitz space という。

Romagny と Wewers の [RW06] によると, 最初に登場したのは, Clebsch の [Cle73] や Hurwitz の [Hur91] のようである。 Hurwitz は \(\CP ^{1}\) の degree \(n\) で \(r\) 個の分岐点を持つ simple branched covering の moduli space \(\cH _{n,r}\) を 複素多様体として構成した。 Scheme として構成したのは Fulton [Ful69] である。

• Hurwitz scheme

Ellenberg と Venkatesh と Westerland の論文 [EVW16] では, \(\mathrm {Int}(D^{2})\) の configuration space の universal cover を用いて構成されている。 そして, それをどのように分岐被覆の moduli space とみなすかについても §2.3 に書かれている。

Ellenberg らの仕事の興味深い点は, Hurwitz space の homological stability を Cohen-Lenstra heuristics という 数論の予想に応用したことだろう。 これについては, Randal-Williams の Bourbaki seminar での解説 [Ran20] が分かり易い。 また, その後の Cohen-Lenstra heuristics に関連した問題の進展については, Ellenberg の Bourbaki seminar の解説 [Ell] がある。

• Cohen-Lenstra heuristics

トポロジーとの関連では, Callegaro と Salvetti の仕事 [CS19] もある。

一般化としては, Bianchi [Bia25; Bia23a; Bia24; Bia23b] が導入し, 調べているものが興味深い。彼は, partial monoid と quandle の共通の一般化になっている partially multiplicative quandle という概念を導入し, それから bisimplicial set を構成することにより, Hurwitz space の一般化を定義している。

• partially multiplicative quandle

群は, partial monoid とも quandle ともみなすことができるから, partially multiplicative quandle であるが, 群をそのようにみなしたときの Bianchi の構成が, 古典的な Hurwtiz space になっている。

References

[Bia23a]

Andrea Bianchi. “Hurwitz-Ran spaces”. In: Geom. Dedicata 217.5 (2023), Paper No. 84, 56. arXiv: 2107.01167. url: https://doi.org/10.1007/s10711-023-00820-z.

[Bia23b]

Andrea Bianchi. “Moduli spaces of Riemann surfaces as Hurwitz spaces”. In: Adv. Math. 430 (2023), Paper No. 109217, 62. arXiv: 2112.10864. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2023.109217.

[Bia24]

Andrea Bianchi. “Deloopings of Hurwitz spaces”. In: Compos. Math. 160.7 (2024), pp. 1651–1714. arXiv: 2107.13081. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X2400719X.

[Bia25]

Andrea Bianchi. “Partially multiplicative quandles and simplicial Hurwitz spaces”. In: Doc. Math. 30.3 (2025), pp. 611–672. arXiv: 2106.09425. url: https://doi.org/10.4171/dm/996.

[Cle73]

A. Clebsch. “Zur Theorie der Riemann’schen Fläche”. In: Math. Ann. 6.2 (1873), pp. 216–230. url: https://doi.org/10.1007/BF01443193.

[CS19]

Filippo Callegaro and Mario Salvetti. “Homology of the family of hyperelliptic curves”. In: Israel J. Math. 230.2 (2019), pp. 653–692. arXiv: 1708.00207. url: https://doi.org/10.1007/s11856-019-1832-3.

[Ell]

Jordan S. Ellenberg. Recent Progress around Cohen-Lenstra Heuristics. arXiv: 2606.06024.

[EVW16]

Jordan S. Ellenberg, Akshay Venkatesh, and Craig Westerland. “Homological stability for Hurwitz spaces and the Cohen-Lenstra conjecture over function fields”. In: Ann. of Math. (2) 183.3 (2016), pp. 729–786. arXiv: 0912.0325. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.183.3.1.

[Ful69]

William Fulton. “Hurwitz schemes and irreducibility of moduli of algebraic curves”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 542–575. url: https://doi.org/10.2307/1970748.

[Hur91]

A. Hurwitz. “Ueber Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten”. In: Math. Ann. 39.1 (1891), pp. 1–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01199469.

[Ran20]

Oscar Randal-williams. “Homology of Hurwitz spaces and the Cohen-Lenstra heuristic for function fields [after Ellenberg, Venkatesh, and Westerland]”. In: Astérisque 422, Séminaire Bourbaki. Vol. 2018/2019. Exposés 1151–1165 (2020), pp. 469–497. arXiv: 1906.07447. url: https://doi.org/10.24033/ast.

[RW06]

Matthieu Romagny and Stefan Wewers. “Hurwitz spaces”. In: Groupes de Galois arithmétiques et différentiels. Vol. 13. Sémin. Congr. Soc. Math. France, Paris, 2006, pp. 313–341. isbn: 978-2-85629-222-8.