多項式と関連した話題

代数的トポロジーで登場する多項式としては, まず Poincaré 多項式 (series) がある。より一般に graded vector space に対しては Hilbert series がある。 これらは, 多項式というより, formal power series とみなすべきであるが。

• formal power series

多項式の成す環 \(k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\) は, 可換環を表示するもとになるものであるが, コホモロジーは (次数付き) 可換環なので, コホモロジーを生成元と関係式で表示するときに, 必要になる。

• polynomial algebra

代数的トポロジーでは, それほど頻繁に使われることのない多項式であるが, 数学全般では, 様々な場面で使われる。 トポロジーに関係したこととしては, まず各種多項式不変量がある。

• Jones polynomial などの knot や link の多項式不変量
• Tutte polynomial などの graph の多項式不変量
• Bollobas-Riordan polynomial などの ribbon graph に対する多項式不変量

最近目にした話題としては, Hyde の factorization statistics [Hyd20] が面白そうである。

• factorization statistics

有限体 \(\F _{q}\) 上の次数 \(d\) の1変数 monic 多項式の集合 \(\mathrm {Poly}_{d}(\F _{q})\) 上の関数で, 多項式の irreducible factor にしか依らないもののことである。

\(\R ^{3}\) の \(d\) 個の点の configuration space \(\mathrm {Conf}_{d}(\R ^{3})\) の \(\Q \) 係数 cohomology を対称群 \(\Sigma _{d}\) の表現とみなしたものと関係がある, というのが Hyde の発見である。

とても不思議であるが, Petersen と Tosteson [PT21] は, Proudfoot が [Pro07] で導入した hyperplane arrangement の complement の代数多様体 (scheme) を用いたモデルを用いることにより, Hyde の定理の意味を説明している。

圏論的類似として, polynomial functor と呼ばれるものがある。 例えば Gambino と Kock [GK13] のものや, Eilenberg と Mac Lane [EM54] のもの, そして Friedlander と Suslin [FS97] が導入した, strict polynomial functor など。 Goodwillie の関手の微積分では, 関数の多項式近似を関手に対して考えるので, 当然 polynomial functor のようなものが現れる。 このように, “polynomial functor” という言葉は様々なものを意味するので, 注意が必要である。

他に, このサイトにある多項式に関連したページを挙げると以下のようになる。

• symmetric function
• Macdonald polynomial
• umbral calculus

References

[EM54]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). II. Methods of computation”. In: Ann. of Math. (2) 60 (1954), pp. 49–139. url: https://doi.org/10.2307/1969702.

[FS97]

Eric M. Friedlander and Andrei Suslin. “Cohomology of finite group schemes over a field”. In: Invent. Math. 127.2 (1997), pp. 209–270. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050119.

[GK13]

Nicola Gambino and Joachim Kock. “Polynomial functors and polynomial monads”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 154.1 (2013), pp. 153–192. arXiv: 0906.4931. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004112000394.

[Hyd20]

Trevor Hyde. “Polynomial factorization statistics and point configurations in \(\R ^3\)”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 24 (2020), pp. 10154–10179. arXiv: 1802.00305. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rny271.

[Pro07]

Nicholas Proudfoot. “A non-Hausdorff model for the complement of a complexified hyperplane arrangement”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 135.12 (2007), pp. 3989–3994. arXiv: math / 0507378. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-07-08949-6.

[PT21]

Dan Petersen and Philip Tosteson. “Factorization statistics and bug-eyed configuration spaces”. In: Geom. Topol. 25.7 (2021), pp. 3691–3723. arXiv: 2004.06024. url: https://doi.org/10.2140/gt.2021.25.3691.