Steenrod’s Cup i-Product

代数的トポロジーの様々な計算で Steenrod の平方作用素 (\(\Sq ^i\)) は重要な役割を果すが, Steenrod [Ste47] は, 最初 cup-\(i\) product という構成の特別な場合として定義した。

Steenrod の論文は昔の言葉で書いてあるので, ちょっと読みづらい。Steenrod の仕事の内容を知るためには, Dieudonné の本 [Die09] を読むのがよいだろう。

しばらく使っている人を見なかったが, 最近 Medina-Mardones が色々調べている。論文 [Med] で axiomatic characterization を与えているので, まずはこれを読むのがよいかもしれない。

\(\Sq ^{i}\) は, singular cochain complex \(C(X;\F _{2})\) の積を \(E_{\infty }\)-algebra の構造に拡張することにより得られるが, cup-\(i\) product は, その2次の部分 \[ W\Sigma _{2}\otimes _{\Sigma _{2}} C(X;\F _{2})^{\otimes 2} \rarrow {} C(X;\F _{2}) \] により定義される。ここで \(\Sigma _{2}\) は位数 \(2\) の巡回群 (対称群) であり, \(W\Sigma _{2}\) は, \(\F _{2}\) の group algebra \(\F _{2}[\Sigma _{2}]\) 上の minimal free resolution である。

Medina-Mardones と Kaufmann [KM21] によると, cup-\(i\) product は, lattice field theory や condensed matter physics などに使えるようである。彼等は, [GK16; BGK17; KT17] を挙げている。他にも, [Tat] や [CT23] などがある。

Medina-Mardones 自身は, [Med24] で Ranicki-Weiss の assembly map [RW90] の精密化を構成することに用いている。

Cup-\(1\) product を扱う枠組みとしては, Porter と Suciu [PS22] の binomail cup-one algebra もある。 Porter と Suciu [PS26] は binomial cup-one algebra は, homotopy \(1\)-type のモデルとして使えることを示している。

• binomial cup-one algebra

References

[BGK17]

Lakshya Bhardwaj, Davide Gaiotto, and Anton Kapustin. “State sum constructions of spin-TFTs and string net constructions of fermionic phases of matter”. In: J. High Energy Phys. 4 (2017), 096, front matter+77. arXiv: 1605.01640. url: https://doi.org/10.1007/JHEP04(2017)096.

[CT23]

Yu-An Chen and Sri Tata. “Higher cup products on hypercubic lattices: application to lattice models of topological phases”. In: J. Math. Phys. 64.9 (2023), Paper No. 091902, 50. arXiv: 2106.05274. url: https://doi.org/10.1063/5.0095189.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[GK16]

Davide Gaiotto and Anton Kapustin. “Spin TQFTs and fermionic phases of matter”. In: Int. J. Mod. Phys. A 31.28n29 (2016). Ed. by Yuri L. Dokshitzer, Peter Levai, and Julia Nyiri, p. 1645044. arXiv: 1505.05856 [cond-mat.str-el].

[KM21]

Ralph M. Kaufmann and Anibal M. Medina-Mardones. “Cochain level May-Steenrod operations”. In: Forum Math. 33.6 (2021), pp. 1507–1526. arXiv: 2010.02571. url: https://doi.org/10.1515/forum-2020-0296.

[KT17]

Anton Kapustin and Ryan Thorngren. “Fermionic SPT phases in higher dimensions and bosonization”. In: J. High Energy Phys. 10 (2017), 080, front matter+48. arXiv: 1701.08264. url: https://doi.org/10.1007/jhep10(2017)080.

[Med]

Anibal M. Medina-Mardones. An axiomatic characterization of Steenrod’s cup-\(i\) products. arXiv: 1810.06505.

[Med24]

Anibal M. Medina-Mardones. “Ranicki-Weiss assembly and the Steenrod construction”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 152.5 (2024), pp. 2249–2259. arXiv: 2207.13115. url: https://doi.org/10.1090/proc/16685.

[PS22]

Richard D. Porter and Alexander I. Suciu. “Differential graded algebras, Steenrod cup-one products, binomial operations, and Massey products”. In: Topology Appl. 313 (2022), Paper No. 107987, 37. arXiv: 2105.10753. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107987.

[PS26]

Richard D. Porter and Alexander I. Suciu. “Cup-one algebras and 1-minimal models”. In: Algebr. Geom. Topol. 26.1 (2026), pp. 65–134. arXiv: 2306.11849. url: https://doi.org/10.2140/agt.2026.26.65.

[RW90]

Andrew Ranicki and Michael Weiss. “Chain complexes and assembly”. In: Math. Z. 204.2 (1990), pp. 157–185. url: https://doi.org/10.1007/BF02570866.

[Ste47]

N. E. Steenrod. “Products of cocycles and extensions of mappings”. In: Ann. of Math. (2) 48 (1947), pp. 290–320. url: https://doi.org/10.2307/1969172.

[Tat]

Sri Tata. Geometrically Interpreting Higher Cup Products, and Application to Combinatorial Pin Structures. arXiv: 2008.10170.