Chiral de Rham complex

Malikov と Schechtman と Vaintrob [MSV99; MS99] は, smooth variety 上に chiral de Rham complex という vertex superalgebra の sheaf を導入した。Kapranov と Vasserot [KV04] によると, これは free loop space との関連で理解すべきものらしい。

特別な多様体に対しては, chiral structure sheaf という sheaf of graded vertex algebra が定義できるらしい。Tan の [Tan] によると, sheaf of chiral differential operators の specialization である。

この Tan の論文の Introduction には, chiral de Rham complex が導入された motivation や数理物理との関係などについて書いてある。

• chiral differential operator
• chiral structure sheaf

より一般に, analytic あるいは smooth 多様体についてもできるということは, Malikov と Schechtman と Vaintrob の上記の論文に述べられているが, smooth の場合の構成を述べたのは, Lian と Linshaw の [LL07] である。 また Ben-Zvi と Heluani と Szczesny の [BHS08] では, smooth の場合の “superfield による構成” が述べてある。

Lian と Linshaw らによる一連の論文 [LL07; LLS08; LLS10] は, chiral de Rham complex やそれに類するものに対し, chiral equivariant cohomology という vertex algebra に値を持つ cohomology を定義しその性質を調べることが目的である。

• chiral equivariant cohomology

[GMS00] によると chiral structure sheaf を持つ多様体は \(\mathrm{BU}\langle 6\rangle \)-structure を持ち conformal anomaly が消えているものと同じらしい。

特異点を持つ場合にも, orbifold に対しては, chiral de Rham complex を定義することができる。Frenkel と Szczesny の [FS07] である。

• orbifold の chiral de Rham complex

References

[BHS08]

David Ben-Zvi, Reimundo Heluani, and Matthew Szczesny. “Supersymmetry of the chiral de Rham complex”. In: Compos. Math. 144.2 (2008), pp. 503–521. arXiv: math/0601532. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003223.

[FS07]

Edward Frenkel and Matthew Szczesny. “Chiral de Rham complex and orbifolds”. In: J. Algebraic Geom. 16.4 (2007), pp. 599–624. arXiv: math/0307181. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1056-3911-07-00466-3.

[GMS00]

Vassily Gorbounov, Fyodor Malikov, and Vadim Schechtman. “Gerbes of chiral differential operators”. In: Math. Res. Lett. 7.1 (2000), pp. 55–66. arXiv: math/9906117.

[KV04]

Mikhail Kapranov and Eric Vasserot. “Vertex algebras and the formal loop space”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 100 (2004), pp. 209–269. arXiv: math/0107143. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-004-0023-9.

[LL07]

Bong H. Lian and Andrew R. Linshaw. “Chiral equivariant cohomology. I”. In: Adv. Math. 209.1 (2007), pp. 99–161. arXiv: math/0501084. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.04.008.

[LLS08]

Bong H. Lian, Andrew R. Linshaw, and Bailin Song. “Chiral equivariant cohomology. II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.9 (2008), pp. 4739–4776. arXiv: math/0607223. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04504-2.

[LLS10]

Bong H. Lian, Andrew R. Linshaw, and Bailin Song. “Chiral equivariant cohomology III”. In: Amer. J. Math. 132.6 (2010), pp. 1549–1590. arXiv: 0705.0207.

[MS99]

Fyodor Malikov and Vadim Schechtman. “Chiral de Rham complex. II”. In: Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications. Vol. 194. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 149–188.

[MSV99]

Fyodor Malikov, Vadim Schechtman, and Arkady Vaintrob. “Chiral de Rham complex”. In: Comm. Math. Phys. 204.2 (1999), pp. 439–473. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050653.

[Tan]

Meng-Chwan Tan. The Half-Twisted Orbifold Sigma Model and the Chiral de Rham Complex. arXiv: hep-th/0607199.