Lie群の有限部分群

Lie群の有限部分群を調べるのは, かなり難しいようである。\(\mathrm{SO}(3)\) の場合は, 正多面体の変換群と解釈できるので, それほど難しくないし, その結果を用いて \(\mathrm{SU}(2)\) の有限部分群も決定できる。しかし, Alekseevskii が [Ale75] の冒頭で述べているように, 一般にはかなり複雑なようである。

• \(\mathrm{SO}(3)\) の有限部分群
• \(\mathrm{SU}(2)\) の有限部分群

\(\mathrm{SU}(2)\) の有限部分群は, Kleinian singularity の定義に用いられるので, その手の本を見れば \(\mathrm{SO}(3)\) の場合も含めて分類が書いてある。例えば, 日本語なら [松沢淳02] など。

Zimmermann [GMZ] によると, \(\mathrm{SO}(4)\) の有限部分群は “well known” らしい。そこには, Du Val の [Du 64] が参照してある。 Mecchia と Seppi の [MS15] によると, どうやらそれは Seifert と Threlfall の [TS31; TS33] で決定されたようである。 Mecchia と Seppi も英語の文献としては, Du Val の本を見るように言っている。

Mecchia と Zimmermann [MZ11] は \(\mathrm{SO}(5)\) の場合を考えている。また Zimmermannは, 球面への有限群の作用も含めた [Zim] という survey を書いている。

MathOverflow の この質問 は, \(\mathrm{SU}(n)\) の有限部分群についてどこまで知られているかというものであり, その質問への回答の一つの中で\(\mathrm{SU}(3)\) については, Blichfeldt により20世紀初頭に決定されていることが述べられている。Miller, Blichfeldt, Dickson の本 [MBD61] の Chapter XII に書いてありそうである。 \(\mathrm{SU}(4)\) については, Hanany と He の [HH] がある。

また別の回答では, Zassenhaus による compact Lie 群 の finite subgroup の conjugacy class を決定するアルゴリズムがあることが述べられている。 元の論文はドイツ語であるが, Schwarzenberger の本 [Sch80] などが文献として挙げられている。

例外型Lie群の場合の文献としては, [CW83; CG87; CW97; Gri95] などがある。Cohen と Wales の survey [CW95] があるので, まずはそれを読むとよい。 物理への応用を念頭に, \(G_2\) の有限部分群を調べている人 [KTW99] もいる。

\(O(n)\) の有限群 \(G\) で \(\R ^/G\) が \(\R ^n\) と同相になるのはどのような場合か, という問題を Michael Davis が [Dav11] で提案している。 実際の問題は orbifold の underlying space が多様体となるのはいつか, という問題であるが。 それに対する解答を Lange が [Lanc] で与えている。

その次の段階として, Lange [Lana] は, \(O(n)\) の有限部分群 \(G\) で \(\R ^n/G\) が境界を持つPL多様体になるのは, \(G\) の各元の fixed point subspace の codimension が 1 または 2 であるときであることを示している。 そして, このことを用いて orbifold の underlying space が境界を持つ多様体になるのはいつか, という問題を [Lanb] で考えている。

数学の問題としては, 有限部分群よりも discrete subgroup を考える方が面白いのだろうか。Raghunathan の本 [Rag72] や Margulis の本 [Mar91] などがある。 局所コンパクト群を discrete subgroup で割って体積を有限にして調べることに使われているようである。

関連した話題として, division algebra の unit group の finite subgroup がある。

• division algebra の可逆元のなす群の有限部分群

References

[Ale75]

A. V. Alekseevskiı̆. “Maximal finite subgroups of Lie groups”. In: Funkcional. Anal. i Priložen. 9.3 (1975), pp. 79–80.

[CG87]

Arjeh M. Cohen and Robert L. Griess Jr. “On finite simple subgroups of the complex Lie group of type \(E_8\)”. In: The Arcata Conference on Representations of Finite Groups (Arcata, Calif., 1986). Vol. 47. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 367–405.

[CW83]

Arjeh M. Cohen and David B. Wales. “Finite subgroups of \(G_2(\mathbf{C})\)”. In: Comm. Algebra 11.4 (1983), pp. 441–459. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927878308822857.

[CW95]

Arjeh M. Cohen and David B. Wales. “Finite simple subgroups of semisimple complex Lie groups—a survey”. In: Groups of Lie type and their geometries (Como, 1993). Vol. 207. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 77–96. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511565823.008.

[CW97]

Arjeh M. Cohen and David B. Wales. “Finite subgroups of \(F_4(\mathbf{C})\) and \(E_6(\mathbf{C})\)”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 74.1 (1997), pp. 105–150. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611597000051.

[Dav11]

Michael W. Davis. “Lectures on orbifolds and reflection groups”. In: Transformation groups and moduli spaces of curves. Vol. 16. Adv. Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, 2011, pp. 63–93. url: http://www.math.osu.edu/~davis.12/papers/lectures%20on%20orbifolds.pdf.

[Du 64]

Patrick Du Val. Homographies, quaternions and rotations. Oxford Mathematical Monographs. Clarendon Press, Oxford, 1964, pp. xiv+116.

[GMZ]

Alessandra Guazzi, Mattia Mecchia, and Bruno Zimmermann. On finite groups acting on acyclic low-dimensional manifolds. arXiv: 0808.0999.

[Gri95]

Robert L. Griess Jr. “Basic conjugacy theorems for \(G_2\)”. In: Invent. Math. 121.2 (1995), pp. 257–277. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01884298.

[HH]

Amihay Hanany and Yang-Hui He. A Monograph on the Classification of the Discrete Subgroups of \(\SU (4)\). arXiv: hep-th/9905212.

[KTW99]

R. C. King, F. Toumazet, and B. G. Wybourne. “A finite subgroup of the exceptional Lie group \(G_2\)”. In: J. Phys. A 32.48 (1999), pp. 8527–8537. url: http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/32/48/312.

[Lana]

Christian Lange. Characterization of finite groups generated by reflections and rotations. arXiv: 1509.06771.

[Lanb]

Christian Lange. When is the underlying space of an orbifold a manifold with boundary? arXiv: 1509.06796.

[Lanc]

Christian Lange. When is the underlying space of an orbifold a manifold? arXiv: 1307.4875.

[Mar91]

G. A. Margulis. Discrete subgroups of semisimple Lie groups. Vol. 17. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1991, pp. x+388. isbn: 3-540-12179-X. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-51445-6.

[MBD61]

G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, and L. E. Dickson. Theory and applications of finite groups. New York: Dover Publications Inc., 1961, pp. xvii+390.

[MS15]

Mattia Mecchia and Andrea Seppi. “Fibered spherical 3-orbifolds”. In: Rev. Mat. Iberoam. 31.3 (2015), pp. 811–840. arXiv: 1307.0641. url: https://doi.org/10.4171/RMI/855.

[MZ11]

Mattia Mecchia and Bruno Zimmermann. “On finite groups acting on homology 4-spheres and finite subgroups of \(\mathrm{SO}(5)\)”. In: Topology Appl. 158.6 (2011), pp. 741–747. arXiv: 1001.3976. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2011.01.017.

[Rag72]

M. S. Raghunathan. Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 68. New York: Springer-Verlag, 1972, pp. ix+227.

[Sch80]

Rolf L. E. Schwarzenberger. \(n\)-dimensional crystallography. Vol. 41. Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1980, pp. iv+139. isbn: 0-8224-8468-4.

[TS31]

W. Threlfall and H. Seifert. “Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes”. In: Math. Ann. 104.1 (1931), pp. 1–70. url: https://doi.org/10.1007/BF01457920.

[TS33]

W. Threlfall and H. Seifert. “Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes (Schluß)”. In: Math. Ann. 107.1 (1933), pp. 543–586. url: https://doi.org/10.1007/BF01448910.

[Zim]

Bruno P. Zimmermann. On finite groups acting on spheres and finite subgroups of orthogonal groups. arXiv: 1108.2602.

[松沢淳02]

松沢淳一. 特異点とルート系. Vol. 6. すうがくの風景. 東京: 朝倉書店, 2002.