楕円コホモロジーの構成

楕円コホモロジーについては, その発見以来, \(K\)理論のような幾何学的対象を用いた構成を見付けることが, 中心的問題の一つである。

一般コホモロジー論としては, elliptic genus から Landweber の exact functor theorem を用いて構成することはできる。 しかしながら, それでは幾何学的な問題に用いることはできない。

ではどのような構成ならばよいのだろうか? 楕円コホモロジーの幾何学的構成が持つべき条件として, Hu と Kriz の [HK04] に以下のことが挙げられている:

• Moonshine と関係がある。より正確には, Monster \(F_1\) の moonshine module \(V^{\natural }\) 上の表現を表す写像 \[ BF_1 \longrightarrow K[[q]][q^{-1}] \] が次のような factorization を持つ \[ BF_1 \longrightarrow B_{\ell }V^{\natural } \longrightarrow E \longrightarrow K[[q]][q^{-1}] \] ここで, \(K\) は \(K\)-theory を表現する spectrum, \(B_{\ell }V^{\natural }\) は, Hu と Kriz による conformal field theory のとしての分類空間, \(E\) が幾何学的に実現された楕円コホモロジーを表現する spectrum である。

具体的な試みとしては以下のものがある。

まずは\(K\)-theory の真似をして, 高次のベクトル束を用いて定義するというアイデアがある。

• \(2\)-vector bundle

そのような試みとして, Baas と Dundas と Rognes によるもの [BBK12] がある。 [Baa+13; Baa+11]で, [BDR04]の構成を“a form of elliptic cohomology”として考えてよいことが主張されている。

多様体上の elliptic object というものを用いて構成するというアイデアもある。

• elliptic object

元々は G. Segal によるものらしいが, Stolz と Teichner [ST04] により詳しく調べられている。それをもとに cohomology theory を表現する空間を quantum field theory のなす圏の分類空間として構成しようというのが, Cheung の thesis [Che] である。Savelyev の [Sav] は, Stolz-Teichner の作用素環的なところを dg category で置き換えようとする試み, つまり topological conformal field theory の視点からの, Stolz-Teichner の類似である。

Stolz と Teichner は, Hohnhold らと一緒に supersymmmetric Euclidean field theory を用いて elliptic cohomology を構成しようとしている。その project の現時点でのまとめが [ST11] である。

• cohomology from TQFT

Baas-Dundas-Rognes のものも Stolz-Teichner のものも, \(2\)-category を使っているが, Ganter と Kapranov は [GK08] で, このように elliptic cohomology の幾何学的構成に \(2\)-category が現われるのは自然であると言っている。彼等は equivariant elliptic cohomology の構成のためには, \(2\)-category の object への群の作用, つまり \(2\)-category の object の上での表現を考えている。

代数幾何学的には, [TV08] の最後の節にあるように geometric stack として解釈するのがいいのだろうか。Toën と Vezzosi は [TV09] では, sheaf の categorification (categorical sheaf) を考えようとしている。

\(S^1\)-equivariant でありかつ rational なものについては, Greenlees が [Gre05] で構成を与えている。

ホモトピー論的な構成で与えられるものとしては, Haynes Miller と Hopkins の topological modular form \(\mathrm {tmf}\) が「正しい」ものだろう。

• \(\mathrm {tmf}\) と関連した spectrum

Berwick-Evans [Ber] は, \(\mathrm {tmf}\) そのものではないが \(\otimes \bbC \) したものの幾何学的構成を提案している。 Tripathy との [BT] では, equivariant を考えている。

\(K\)-theory の場合は,関数解析的なアプローチがあるが, この Henriques による MathOverflow での質問によると, elliptic cohomology (\(\mathrm {tmf}\)) を von Neumann algebra を用いて構成しようというアイデア (?) もあるらしい。Douglas とそのアイデアについて書いたのが [DH] のようである。

References

[Baa+11]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, Birgit Richter, and John Rognes. “Stable bundles over rig categories”. In: J. Topol. 4.3 (2011), pp. 623–640. arXiv: 0909.1742. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr016.

[Baa+13]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, Birgit Richter, and John Rognes. “Ring completion of rig categories”. In: J. Reine Angew. Math. 674 (2013), pp. 43–80. arXiv: 0706 . 0531. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2012.024.

[BBK12]

Nils A. Baas, Marcel Bökstedt, and Tore August Kro. “Two-categorical bundles and their classifying spaces”. In: J. K-Theory 10.2 (2012), pp. 299–369. arXiv: math/0612549. url: http://dx.doi.org/10.1017/is012001012jkt181.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math / 0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[Ber]

Daniel Berwick-Evans. Perturbative sigma models, elliptic cohomology and the Witten genus. arXiv: 1311.6836.

[BT]

Daniel Berwick-Evans and Arnav Tripathy. A model for complex analytic equivariant elliptic cohomology from quantum field theory. arXiv: 1805.04146.

[Che]

Pokman Cheung. Supersymmetric field theories and cohomology. arXiv: 0811.2267.

[DH]

Christopher L. Douglas and André G. Henriques. Topological modular forms and conformal nets. arXiv: 1103.4187.

[GK08]

Nora Ganter and Mikhail Kapranov. “Representation and character theory in 2-categories”. In: Adv. Math. 217.5 (2008), pp. 2268–2300. arXiv: math/0602510. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.10.004.

[Gre05]

J. P. C. Greenlees. “Rational \(S^{1}\)-equivariant elliptic cohomology”. In: Topology 44.6 (2005), pp. 1213–1279. arXiv: math/0504432. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.05.002.

[HK04]

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[Sav]

Yasha Savelyev. Floer-Fukaya theory and topological elliptic objects. arXiv: 1202.4118.

[ST04]

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[ST11]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “Supersymmetric field theories and generalized cohomology”. In: Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory. Vol. 83. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 279–340. arXiv: 1108. 0189. url: https://doi.org/10.1090/pspum/083/2742432.

[TV08]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.902 (2008), pp. x+224. arXiv: math/0404373.

[TV09]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 331–354. arXiv: 0804.1274. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_11.