2-Vector Bundles

Vector bundle の高次版として \(2\)-vector bundle という構造がある。Vector bundle が vector space を束ねたものなので, \(2\)-vector space を束ねたものとして定義される。

Rank \(1\) の \(2\)-vector bundle, つまり line bundle の高次版は, 1960年代から gerbe として考えられてきたが, 一般の \(2\)-vector bundle を定義するのは簡単ではない。 まず, \(2\)-vector space の「正しい」定義を見付けなければならないからである。

\(2\)-vector space のモデルとしては, まず Kapranov と Voevodsky のものがある。 それを束ねたものとして, Baas と Dundas と Rognes による \(2\)-vector bundle [BDR04] がある。

• Baas-Dundas-Rognes \(2\)-vector bundle

Baas-Dundas-Rognes のアイデア, というよりKapranov-Voevodsky の \(2\)-vector space という概念はまだ荒けずりな感じがする。 より精密なのは, Baezによる有限次元 \(2\)-Hibert space [Bae97], もっと精密なのは Yetter の measurable category のように思える。

Baez と Crans [BC04] は, \(2\)-Lie algebra を定義するという motivation の下に別の \(2\)-vector space を考えた。しかしながら, Baasと Bökstedt と Kro の [BBK12] の machinary を使うと Baez-Crans の \(2\)-vector space からは, \(K\)-theory のコピーが二つできるだけなので, elliptic cohomology の構成には不適かもしれない。

より抽象的なアプローチとして, Kristel, Ludewig, Waldorf の [KLW] がある。 彼等は, \(2\)-vector space として symmetric monoidal bicategory で monoidal unit の endomorphism category がベクトル空間の category と同値であるものの object を使っている。

References

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[BBK12]

Nils A. Baas, Marcel Bökstedt, and Tore August Kro. “Two-categorical bundles and their classifying spaces”. In: J. K-Theory 10.2 (2012), pp. 299–369. arXiv: math/0612549. url: http://dx.doi.org/10.1017/is012001012jkt181.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math/0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[KLW]

Peter Kristel, Matthias Ludewig, and Konrad Waldorf. 2-vector bundles. arXiv: 2106.12198.