2-Vector Bundles

Vector bundle の 高次版として \(2\)-vector bundle という構造がある。Vector bundle が vector space を束ねたものなので, \(2\)-vector space を束ねたものとして定義したくなる。

Rank \(1\) の \(2\)-vector bundle, つまり line bundle の高次版は, 1960年代から gerbe として考えられてきたが, 一般の \(2\)-vector bundle を定義するのは簡単ではない。 まず, \(2\)-vector space の「正しい」定義を見付けなければならないからである。

• models for \(2\)-vector spaces

\(2\)-vector space のモデルとしては, まず Kapranov と Voevodsky のものがある。 それを束ねたものとして, Baas と Dundas と Rognes による \(2\)-vector bundle [BDR04] がある。 彼等の動機は, \(2\)-vector bundle を 楕円コホモロジーの構成のために用いることだった。

• Baas-Dundas-Rognes \(2\)-vector bundle

その orientation や connective structure について, Kragh が [Kra13] で考えている。

• oriented \(2\)-vector bundle

ある空間上の \(2\)-vector bundle の成す bicategory の構成については, Nikolaus と Schweigert の [NS11] がある。

Baas-Dundas-Rognes のアイデア, というよりKapranov-Voevodsky の \(2\)-vector space という概念はまだ荒けずりな感じがする。 より精密なのは, Baezによる有限次元 \(2\)-Hibert space [Bae97], もっと精密なのは Yetter の measurable category のように思える。

Baez と Crans [BC04] は, \(2\)-Lie algebra を定義するという motivation の下に別の \(2\)-vector space を考えた。しかしながら, Baasと Bökstedt と Kro の [BBK12] の machinary を使うと Baez-Crans の \(2\)-vector space からは, \(K\)-theory のコピーが二つできるだけなので, elliptic cohomology の構成には不適かもしれない。

楕円コホモロジーの実現のためには, conformal field theory を用いるという Segal のアイデアもあるので, conformal field theory と \(2\)-vector bundle の関係を知る必要がある。これについては, Segal が [Seg07] の最後で少し書いているが, それを詳しく調べたものとして, Amoreo と Devoto の [AD] がある。 Conformal field theory ではなく, 2次元の topological quantum field theory との関係であるが。

2次元の topological quantum field theory は, 可換な Frobenius algebra と同等なので, Frobenius algebra の bundle のようなものから, 楕円コホモロジーが作れるとうれしいわけであるが, Moore と Segal [MS] によると, そのようなものは Frobenius manifold と同じらしい。そして Amoreo と Devoto [AD] は, semisimple Frobenius manifold から maximal Cardy fibration を取ることにより Baas-Dundas-Rognes の \(2\)-vector bundle ができることを示している。

より抽象的なアプローチとして, Kristel, Ludewig, Waldorf の [KLW25] がある。 彼等は, (topological) algebra を object, bimodule を \(1\)-morphism, bimodule の準同型を \(2\)-morphism とする bicategory を使っている。 ただ, それらを多様体 \(X\) 上に束ねる方法として, object と \(1\)-morphism を \(X\) 上の bundle にした bicategory を用いている。つまり, \(X\) 上の algebra bundle を object とし, bimodule bundle を \(1\)-morphism とする bicategory を \(X\) 上の \(2\)-vector bundle と考えている。

• Kristel-Ludewig-Waldorf \(2\)-vector bundle

彼等は [KLW] で, その枠組みで von Neumann algebra bundle を用い stringor bundle というものを定義している。 そしてそれが Stolz と Teichner が期待した higher differential geometric object の厳密な定義である, と言っている。

• stringor bundle

References

[AD]

Anibal Amoreo and Jorge A. Devoto. 2-vector bundles, D-branes and Frobenius Manifolds. arXiv: 1507.08485.

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[BBK12]

Nils A. Baas, Marcel Bökstedt, and Tore August Kro. “Two-categorical bundles and their classifying spaces”. In: J. K-Theory 10.2 (2012), pp. 299–369. arXiv: math/0612549. url: http://dx.doi.org/10.1017/is012001012jkt181.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math/0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[KLW]

Peter Kristel, Matthias Ludewig, and Konrad Waldorf. The stringor bundle. arXiv: 2206.09797.

[KLW25]

Peter Kristel, Matthias Ludewig, and Konrad Waldorf. “2-vector bundles”. In: High. Struct. 9.1 (2025), pp. 36–87. arXiv: 2106.12198.

[Kra13]

Thomas Kragh. “Orientations on 2-vector bundles and determinant gerbes”. In: Math. Scand. 113.1 (2013), pp. 63–82. arXiv: 0910.0131. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-15482.

[MS]

Gregory W. Moore and Graeme Segal. D-branes and K-theory in 2D topological field theory. arXiv: hep-th/0609042.

[NS11]

Thomas Nikolaus and Christoph Schweigert. “Equivariance in higher geometry”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 3367–3408. arXiv: 1004.4558. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.10.016.

[Seg07]

Graeme Segal. “What is an elliptic object?” In: Elliptic cohomology. Vol. 342. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, pp. 306–317. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721489.016.