Cubical Complex

Simplicial complex が単体を貼り合わせてできているように, 立方体を貼り合わせてできた polyhedral complex が cubical complex である。 様々な場面で現われるが, 例えば, Abramsによる graph の configuration space の cellular model は, cubical complex である。 Abrams は, thesis [Abr00] で彼の modelが \(\mathrm{CAT}(0)\) cubical complex であることを示している。

• \(\mathrm{CAT(0)}\) cubical complex

Abrams の考えたのは, graph の上の robot motion planning であるが, より一般に, Ghrist と Peterson は [GP07] で graph 上の reconfigurable system というものを考え, それに対し state complex という CAT(0) cubical comlpex を作っている。State complex については, Ardila と Baker と Yatchak の [ABY] で調べられている。

この \(\mathrm{CAT(0)}\) cubical complex というのは, non-positive curvature を持つ cubical complex, ということで, geometric group theory で使われるものであるが, Gromov による link condition で combinatorial に特徴付けられることが知られている。この手のことについては, Bridson と Haefliger の本 [BH99] がある。

• Gromov の link condition

Farley の [Far] によると, CAT(0) cubical complex での中心となる定理は, Gromov の link condition と Sageev の定理 [Sag95] らしい。 Ardilla, Owen, Sullivant [AOS12] は, \(\mathrm{CAT(0)}\) cubical complex の geodesic を計算する algorithm を考えている。

Cubical complex は, rack やそれに類するものの分類空間の構成でも登場する。Nosaka [Nos] は, cubical manifold を定義して調べている。

• cubical manifold

組み合せ論の視点からの研究もある。 単体的複体の組み合せ論的研究では, \(f\)-vector や \(h\)-vector などが使われるが, \(h\)-vector の cubical 版もある。Adin の [Adi96] で定義されている。 Athanasiadis の [Ath] では, local \(h\)-vector が定義されている。

Simplicial complex の抽象化として simplicial set があるように, cubical complex の抽象化として cubical set がある。

• cubical set

また, より一般の多面体を貼り合せたものも有用である。

• polyhedral complex

References

[Abr00]

Aaron Abrams. “Configuration Spaces and Braid Groups of Graphs”. PhD thesis. University of California at Berkeley, 2000. url: http://www.math.uga.edu/~abrams/research/papers/thesis.ps.

[ABY]

Federico Ardila, Tia Baker, and Rika Yatchak. Moving robots efficiently using the combinatorics of CAT(0) cubical complexes. arXiv: 1211.1442.

[Adi96]

Ron M. Adin. “A new cubical \(h\)-vector”. In: Proceedings of the 6th Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (New Brunswick, NJ, 1994). Vol. 157. 1-3. 1996, pp. 3–14. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X(96)83003-2.

[AOS12]

Federico Ardila, Megan Owen, and Seth Sullivant. “Geodesics in \(\mathrm{CAT}(0)\) cubical complexes”. In: Adv. in Appl. Math. 48.1 (2012), pp. 142–163. arXiv: 1101.2428. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2011.06.004.

[Ath]

Christos A. Athanasiadis. Cubical subdivisions and local \(h\)-vectors. arXiv: 1007.3154.

[BH99]

Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.

[Far]

Daniel Farley. A proof of Sageev’s Theorem on hyperplanes in CAT(0) cubical complexes. arXiv: 0909.0968.

[GP07]

R. Ghrist and V. Peterson. “The geometry and topology of reconfiguration”. In: Adv. in Appl. Math. 38.3 (2007), pp. 302–323. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2005.08.009.

[Nos]

Takefumi Nosaka. de Rham theory and cocycles of cubical sets from smooth quandles. arXiv: 1804.00269.

[Sag95]

Michah Sageev. “Ends of group pairs and non-positively curved cube complexes”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 71.3 (1995), pp. 585–617. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-71.3.585.