Polyhedral Complex

単体を貼り合せて simplicial complex, 立方体を貼り合せて cubical complex ができるが, より一般の凸多面体を貼り合わせてできている cell complex を polyhedral complex や polytopal complex という。 例えば, グラフの Hom complex は, 単体の直積を cell とする polyhedral complex とみなすのがよい。 Permutohedron を貼り合せた permutohedral complex というものを考えている人達 [Cla+] もいる。

Polyhedral complex について書かれてものとしては, 以下のような文献がある。

• Kozlov の本 [Koz08] には polyhedral complex の章がある。
• Rourke と Sanderson の PL topology に関する本 [RS72] は polyhedral complex に基づいている。
• d’Antonio と Delucchi の [dD12] では, Bridson と Haefliger の本 [BH99] が参照されている。
• Polyhedral complex に関する様々な定義は, Reading の [Rea12] にある。

他にも, もっと古いものとしては, Stallings の本 [Sta67], Glaser の本 [Gla70; Gla72] がある。

Bridson と Haefliger の本 [BH99] では, regular とは限らないものを polytopal complex と呼んでいるが, これはそれほど一般的な用語ではないと思う。

単体的複体と の中間に位置するものとしては, Kirillov, Jr. [Kir12] の PLCW complex もある。Euclid空間の部分空間としてしか定義されていないが。その motivation は, extended topological quantum field theory にあるようである。 近いものとして, [FMT15; Tam18] で導入した totall normal polyhedral complex がある。

• PLCW complex
• totally normal polyhedral complex

Regular cell complex について重要なことは, その face poset が本質的な情報を全て持っていることであるが, regular の条件を totally normal まで弱くしても face category を作ることができ, そこから元の cell complex を復元できる。というより, そのような face category が定義できるための条件として [FMT15] したのが totally normal という条件だったのだが。

• totally normal polyhedral complex の face category
• totally normal polyhedral complex の face category の 分類空間 はもとの polyhedral complex と同相

Kapovich と Kollár [KK14; Kap13] は, hyperbolic なものも含めて考えているが, そのためには, functor として定義するのがよさそうである。

多面体に対しては, そのグラフの特徴付けなどの研究もあるが, グラフを元にした polyhedral complex の定義を考えたものとして, Grünbaum の polygonal complex [Grü77] がある。

• polygonal complex

Grünbaum の考えているのは, regular なものであるが, 最近 Pellicer と Schulte [PS10; PS13] により regular polygonal complex が調べられている。彼等による survey [PS14] もある。

凸多面体に対しては, Hom polytope という凸多面体を構成することができるが, その polytopal complex への一般化もある。Bakuradze, Gamkrelidze, Gubeladze の [BGG16] である。また, 凸多面体と affine map の成す category を含むような polyhedral complex の category を定義し調べている。

• category of polytopes

各面を凸多面体として Euclid 空間に埋め込まれた polyhedral complex で, 面を合同に保ったまま変形する方法があるもの を Gaifullin [Gai18] は flexible polyhedron と呼んでいる。

• flexible polyhedron

References

[BGG16]

Malkhaz Bakuradze, Alexander Gamkrelidze, and Joseph Gubeladze. “Affine hom-complexes”. In: Port. Math. 73.3 (2016), pp. 183–205. arXiv: 1407.6870. url: https://doi.org/10.4171/PM/1984.

[BH99]

Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.

[Cla+]

Emily Clader, Chiara Damiolini, Daoji Huang, Shiyue Li, and Rohini Ramadas. Permutohedral complexes and rational curves with cyclic action. arXiv: 2104.06526.

[dD12]

Giacomo d’Antonio and Emanuele Delucchi. “A Salvetti complex for toric arrangements and its fundamental group”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 15 (2012), pp. 3535–3566. arXiv: 1101.4111. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnr161.

[FMT15]

Mizuki Furuse, Takashi Mukouyama, and Dai Tamaki. “Totally normal cellular stratified spaces and applications to the configuration space of graphs”. In: Topol. Methods Nonlinear Anal. 45.1 (2015), pp. 169–214. arXiv: 1312.7368. url: http://dx.doi.org/10.12775/TMNA.2015.010.

[Gai18]

Alexander A. Gaifullin. “Flexible polyhedra and their volumes”. In: European Congress of Mathematics. European Mathematical Society (EMS), 2018, pp. 63–83. arXiv: 1605.09316.

[Gla70]

Leslie C. Glaser. Geometrical combinatorial topology. Vol. I. Vol. 27. Van Nostrand Reinhold Mathematics Studies. Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1970, pp. viii+161.

[Gla72]

Leslie C. Glaser. Geometrical combinatorial topology. Vol. II. Vol. 28. Van Nostrand Reinhold Mathematics Studies. Van Nostrand Reinhold Co., London, 1972, pp. vi+175. isbn: 0-442-78283-7.

[Grü77]

Branko Grünbaum. “Regular polyhedra—old and new”. In: Aequationes Math. 16.1-2 (1977), pp. 1–20.

[Kap13]

Michael Kapovich. “Dirichlet fundamental domains and topology of projective varieties”. In: Invent. Math. 194 (2013), pp. 631–672. arXiv: 1201.3129. url: https://doi.org/10.1007/s00222-013-0453-4.

[Kir12]

Alexander Kirillov Jr. “On piecewise linear cell decompositions”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 95–108. arXiv: 1009.4227. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2012.12.95.

[KK14]

Michael Kapovich and János Kollár. “Fundamental groups of links of isolated singularities”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 929–952. arXiv: 1109.4047. url: https://doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00807-9.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[PS10]

Daniel Pellicer and Egon Schulte. “Regular polygonal complexes in space, I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.12 (2010), pp. 6679–6714. arXiv: 0906.1178. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2010-05128-1.

[PS13]

Daniel Pellicer and Egon Schulte. “Regular polygonal complexes in space, II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 365.4 (2013), pp. 2031–2061. arXiv: 1210.2061. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05684-4.

[PS14]

Daniel Pellicer and Egon Schulte. “Polygonal complexes and graphs for crystallographic groups”. In: Rigidity and symmetry. Vol. 70. Fields Inst. Commun. Springer, New York, 2014, pp. 325–344. arXiv: 1310.4905. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4939-0781-6_16.

[Rea12]

Nathan Reading. “Coarsening polyhedral complexes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 140.10 (2012), pp. 3593–3605. arXiv: 1004.4194. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2012-11194-3.

[RS72]

C. P. Rourke and B. J. Sanderson. Introduction to piecewise-linear topology. New York: Springer-Verlag, 1972, p. viii 123.

[Sta67]

John R. Stallings. Lectures on polyhedral topology. Notes by G. Ananda Swarup. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No. 43. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, 1967, pp. iv+260.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.