Wythoff construction

ポセット に対して Wythoffian という新しいポセットを作る構成がある。 元のポセットに対する Wythoff construction ともいう。 Wythoff の kaleidoscope construction と言った方が丁寧であるが。

Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] によると, Wythoff により, 1918年の論文 [Wyt18] で考えられたものらしい。 文献として, Coxeterの [Cox68; Cox73] や McMullen と Schulte の本 [MS02], そして Scharlau の [Sch90] などが挙げられている。

McMullen の本 [McM20] によると, Wythoff の論文には, 4次元正多面体である, 正600胞体の場合のみしか書かれていないようである。 McMullen は, Robinson の1931年の論文 [Rob31] を参照している。

これらの文献のタイトルからもわかるように, 主に凸多面体 (特に正多面体) に対し考えられているようである。 凸多面体 (の face poset) に適用するとまた凸多面体 (の face poset) ができるので, 凸多面体に対する操作と考えることもできるからである。 Deza らは, maximal chain (flag) の長さが全て同じ \(d\) であるポセット (\(d\)-complex) に対する構成として定義している。

• \(d\)-complex の Wythoffian
• abstract polytope の Wythoffian

ただし, Deza らの論文に書いてある構成を凸多面体の face poset に対して適用するときは, 最大元 (と最小限 \(\emptyset \)) を除かないといけないことに注意する。

Deza らの論文 [DDS08] では, 正多面体の Wythoffian の \(1\)-skeleton で与えられる graph が, cube や half cube に isometric に埋め込めるかという問題が考えられている。

Coxeter group に対しても Wythoff construction があり, それとの関係が考えられている。 Deza らの論文では, algebraic construction として [Max89] が, geometric construction として [MP95] が挙げられている。

• Coxeter group に対する Wythoff construction

Dutour Sikiric と Ellis の [DE09] によると, 有限群のコホモロジーの計算にも使えるようである。

Conder らの [Con+] では, highly regular expander を作るのに使われている。

References

[Con+]

Marston Conder, Alexander Lubotzky, Jeroen Schillewaert, and Francois Thilmany. Constructing highly regular expanders from hyperbolic Coxeter groups. arXiv: 2009.08548.

[Cox68]

H. S. M. Coxeter. Twelve geometric essays. Carbondale, Ill.: Southern Illinois University Press, 1968, pp. xiii+274.

[Cox73]

H. S. M. Coxeter. Regular polytopes. Third. New York: Dover Publications Inc., 1973, pp. xiv+321.

[DDS08]

Michel Deza, Mathieu Dutour Sikirić, and Sergey Shpectorov. “Hypercube embeddings of Wythoffians”. In: Ars Math. Contemp. 1.1 (2008), pp. 99–111. arXiv: math/0407527.

[DE09]

Mathieu Dutour Sikirić and Graham Ellis. “Wythoff polytopes and low-dimensional homology of Mathieu groups”. In: J. Algebra 322.11 (2009), pp. 4143–4150. arXiv: 0812.4291. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.09.031.

[Max89]

George Maxwell. “Wythoff’s construction for Coxeter groups”. In: J. Algebra 123.2 (1989), pp. 351–377. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(89)90051-3.

[McM20]

Peter McMullen. Geometric Regular Polytopes. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 2020.

[MP95]

R. V. Moody and J. Patera. “Voronoı̆ domains and dual cells in the generalized kaleidoscope with applications to root and weight lattices”. In: Canad. J. Math. 47.3 (1995), pp. 573–605. url: https://doi.org/10.4153/CJM-1995-031-2.

[MS02]

Peter McMullen and Egon Schulte. Abstract regular polytopes. Vol. 92. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xiv+551. isbn: 0-521-81496-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546686.

[Rob31]

G. de B. Robinson. “On the Fundamental Region of a Group, and the Family of Configurations which Arise Therefrom”. In: J. London Math. Soc. 6.1 (1931), pp. 70–75. url: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-6.1.70.

[Sch90]

Rudolf Scharlau. “Geometrical realizations of shadow geometries”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 61.3 (1990), pp. 615–656. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-61.3.615.

[Wyt18]

W.A. Wythoff. “A relation between the polytopes of the \(C_{600}\)-family”. In: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences 20 (1918), pp. 966–970.