モデル圏の基本

モデル圏を勉強するのは大変である。かつては, Quillen の書いたもの [Qui67; Qui69] しかなかったが, 90年代になって良い解説がいくつも書かれるようになったので, それでもかなり楽になった。

現在では, まずは Dwyer と Spalinski の解説 [DS95] を読んでから, Hovey の本 [Hov99] を読むのがよい。 Goerss と Schemmerhorn の [GS07] は, André-Quillen (co)homology のような代数的応用を念頭に書かれたものであるが, これも分かりやすい。 Balchin の handbook [Bal21] には, 具体的な圏での model structure の例が色々書いてある。

更に, Joyal と Tierny [JT07] により, weak factorization system の概念を用いると, model category の定義が非常に簡潔になることが分かっているので, この Joyal と Tierny の定義を頭に入れておくと良いだろう。

• モデル圏に関する基本的な定義
• ホモトピー圏
• モデル圏の間の関手

References

[Bal21]

Scott Balchin. A handbook of model categories. Vol. 27. Algebra and Applications. Springer, Cham, [2021] ©2021, pp. xv+326. isbn: 978-3-030-75034-3; 978-3-030-75035-0. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-75035-0.

[DS95]

W. G. Dwyer and J. Spaliński. “Homotopy theories and model categories”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 73–126. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50003-1.

[GS07]

Paul Goerss and Kristen Schemmerhorn. “Model categories and simplicial methods”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 3–49. arXiv: math / 0609537. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08403.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[JT07]

André Joyal and Myles Tierney. “Quasi-categories vs Segal spaces”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 277–326. arXiv: math/0607820.

[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.