McMullen’s Polytope Algebra

凸多面体の和としては Minkowski sum が良く使われるが, McMullen [McM89] は, 凸多面体の集合に Minkowski sum を積として定義した代数的構造を考えた。 和は, \[ [P]+[Q] = [P\cup Q] + [P\cap Q] \] で定義する。 同値類を表す括弧がついているのは, 平行移動による同一視を行なっているからである。 空集合の類 \([\emptyset ]\) が\(0\)元になる。これを polytope algebra という。

Castillo による “hands on introduction” [Cas19] がある。 Bastidas [Bas21] の §2 にも summary がある。 Eur, Huh, Larson の [EHL23] の Appendix にもまとめがあり, いくつかの変種も定義されている。

和集合と共通部分について, このような関係式をみたす量を valuation と呼ぶが, polytope algebra は凸多面体の集合上の (平行移動で不変な) valuation に関し universal なものである。

• valuation

有限次元実ベクトル空間 \(V\) の中の全ての凸多面体で生成されたもの \(\Pi (V)\) を考えることもできるが, 特定の凸多面体 \(P\) の Minkowski summand で生成された subalgebra \(\Pi (P)\) を考えることもできる。

McMullen は, polytope algebra を用いて polytope の logarithm や exponential を定義している。

• logarithm and exponential of polytope

McMullen の原論文で, \(\Pi (P)\) は \(P\) に associate した toric variety の Chow ring と同型であることが示されている。

また, Morelli [Mor93b; Mor93a] は toric variety の \(K\)-theory との関係を発見している。

Generalized permutohedron の集合は Hopf monoid の構造を持つことが Aguiar と Ardila [AA23] により示されているが, この Hopf monoid の構造と polytope algebra の構造の関係が Bastidas [Bas21] や Ardila と Sanchez [AS23] により調べられている。

References

[AA23]

Marcelo Aguiar and Federico Ardila. “Hopf Monoids and Generalized Permutahedra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 289.1437 (2023), pp. vi+119. arXiv: 1709.07504. url: https://doi.org/10.1090/memo/1437.

[AS23]

Federico Ardila and Mario Sanchez. “Valuations and the Hopf monoid of generalized permutahedra”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 5 (2023), pp. 4149–4224. arXiv: 2010.11178. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnab355.

[Bas21]

Jose Bastidas. “The polytope algebra of generalized permutahedra”. In: Algebr. Comb. 4.5 (2021), pp. 909–946. arXiv: 2009.05876. url: https://doi.org/10.5802/alco.185.

[Cas19]

Federico Castillo. “A pithy look at the polytope algebra”. In: Algebraic and geometric combinatorics on lattice polytopes. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2019, pp. 117–131. arXiv: 2111.02820.

[EHL23]

Christopher Eur, June Huh, and Matt Larson. “Stellahedral geometry of matroids”. In: Forum Math. Pi 11 (2023), Paper No. e24, 48. arXiv: 2207.10605. url: https://doi.org/10.1017/fmp.2023.24.

[McM89]

Peter McMullen. “The polytope algebra”. In: Adv. Math. 78.1 (1989), pp. 76–130. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(89)90029-7.

[Mor93a]

Robert Morelli. “The \(K\)-theory of a toric variety”. In: Adv. Math. 100.2 (1993), pp. 154–182. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1993.1032.

[Mor93b]

Robert Morelli. “Translation scissors congruence”. In: Adv. Math. 100.1 (1993), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1993.1027.