K-theory に関する局所化

一般ホモロジー論に関する局所化は, 1970年代に Bousfield により研究され, その後モデル圏での局所化などに一般化されている。

具体的なホモロジー論で, その局所化が最も調べられているのは, ordinary homology を除けば, \(K\)-theory やそれに類する \(K(1)\) や \(E(1)\) などだろう。 それについても, まず Bousfield の研究 [Bou82; Bou85] がある。

Franke は preprint [Fra]で, 奇素数での \(E(1)\)-local stable homotopy category と同値な triangulated category を, 代数的に構成した。Franke の構成はもっと一般的であるが, \(E(1)\)-local stable homotopy category の場合に証明を見直したものとして, Roitzheim の [Roi08] がある。Monoidal structure については, Barnes と Roitzheim が [BR11] で考えている。 より一般の ring spectrum に対する拡張は, Patchkoria [Pat12; Pat17] が考えている。

具体的な spectrum の \(K\)-theory localization の例としては, まず sphere spectrum の場合 \(L_{K(1)}S\) を知っておくべきだろう。 \(L_{K(1)}S\) のホモトピー群は, Ravenel の [Rav84] で決定された。

空間の局所化は一層難しい。球面の \(K\)-theory localization は, Mahowald と Thompson [MT92], そして Langsetmo [Lan93] により調べられている。

Mahowald と Thompsonの論文 によると, Eilenberg-Mac Lane space の \(K\)-theory localization は Mislin [Mis78] により決定された。 また, 無限ループ空間の場合は, Bousfield [Bou82] により, それを deloop する spectrum の \(K\)-theory localization を用いて表せることが示されている。

\(K\)-theory (\(K(n)\)) に関する localization については, Hopkins と Lurie [HL] による ambidexiterity の概念に基いた Carmeli ら [CSY; CY] によるものもある。

References

[Bou82]

A. K. Bousfield. “On homology equivalences and homological localizations of spaces”. In: Amer. J. Math. 104.5 (1982), pp. 1025–1042. url: https://doi.org/10.2307/2374082.

[Bou85]

A. K. Bousfield. “On the homotopy theory of \(K\)-local spectra at an odd prime”. In: Amer. J. Math. 107.4 (1985), pp. 895–932. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374361.

[BR11]

David Barnes and Constanze Roitzheim. “Monoidality of Franke’s exotic model”. In: Adv. Math. 228.6 (2011), pp. 3223–3248. arXiv: 1004.4114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.08.005.

[CSY]

Shachar Carmeli, Tomer M. Schlank, and Lior Yanovski. Ambidexterity and Height. arXiv: 2007.13089.

[CY]

Shachar Carmeli and Allen Yuan. Higher semiadditive Grothendieck-Witt theory and the \(K(1)\)-local sphere. arXiv: 2109.12233.

[Fra]

Jens Franke. Uniqueness theorems for certain triangulated categories with an Adams spectral sequence. K-theory Preprint Archive 139. url: http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0139/.

[HL]

Michael Hopkins and Jacob Lurie. Ambidexterity in \(K(n)\)-Local Stable Homotopy Theory. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Ambidexterity.pdf.

[Lan93]

Lisa Langsetmo. “The \(K\)-theory localization of loops on an odd sphere and applications”. In: Topology 32.3 (1993), pp. 577–585. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(93)90009-K.

[Mis78]

G. Mislin. “Localization with respect to \(K\)-theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 10.2 (1977/78), pp. 201–213. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(77)90023-8.

[MT92]

Mark Mahowald and Robert D. Thompson. “The \(K\)-theory localization of an unstable sphere”. In: Topology 31.1 (1992), pp. 133–141. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90066-Q.

[Pat12]

Irakli Patchkoria. “On the algebraic classification of module spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.4 (2012), pp. 2329–2388. arXiv: 1108. 6309. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.2329.

[Pat17]

Irakli Patchkoria. “On exotic equivalences and a theorem of Franke”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 49.6 (2017), pp. 1085–1099. arXiv: 1612. 03732. url: https://doi.org/10.1112/blms.12105.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Roi08]

Constanze Roitzheim. “On the algebraic classification of \(K\)-local spectra”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 389–412. arXiv: 0708.3036.