有限群の表現

群 \(G\) の環 \(k\) 上の表現とは, \(k[G]\)-module のことであるが, \(G\) が有限のとき \(k[G]\) の性質は, \(G\) の位数と体の標数が互いに素な場合とそうでない場合で, 大きく異なる。

「そうでない場合」を modular representation theory と呼ぶ。

• modular representation theory

また, \(G\) が有限のときには \(k[G]\) は有限次元 Hopf algebra になるので, 有限次元 Hopf algebra の表現の特別な場合と考えることもできる。

ホモトピー論との関係では, まず, 有限群 \(G\) の表現全体の成す環 \(R(G)\) と \(K\)-theory の関係を知っておくべきだろう。 \(R(G)\) の augmentation ideal に関する completion が 分類空間 の \(K\)-theory になるという Atiyah の定理 [Ati61] である。

• representation ring \(R(G)\)
• Atiyah の completion theorem

線形表現ではなく, 集合への作用を考えたときの類似が Segal の Burside ring に関する予想だった。今では, Carlsson の定理 [Car83; Car84] であるが。

• Burnside ring
• Segal conjecture

また, \(K\)-theory を Morava \(K\)-theory に変えたものとして, Hopkins と Kuhn と Ravenel の結果 [HKR00] がある。

• Hopkins-Kuhn-Ravenal の定理

表現の成す空間を考えることもできる。

• 離散群の表現の成す空間

ホモトピー論を使ったものとして, van der Meer と Wong の [MW] の方向もある。 Dade [Dad78] により導入された endotrivial module の成す群が, stable module category の Picard 群と同型であること, そして stable module category が stable \(\infty \)-category の homotopy category であることを利用し, endotrivial module の成す群を調べている。

• endotrivial module
• stable module category

表現から多面体を作ることもできる。 例えば, 有限群 \(G\) の \(\R \) 上の表現を\(n\)次の行列の族として表したとき, その \(\R ^{n^2}\) での convex hull を取ってできるものである。Collins と Perkinson の [CP] など。 また \(G\) の \(\R ^{n}\) への作用により, \(\R ^{n}\) の1つの点を動かして, その convex hull として多面体を定義することもできる。 Dutour Sikirić と Ellis の [DE09] では orbit polytope と呼ばれ, Mathieu 群のコホモロジーの計算に使われている。 その方法は, Ellis と Harris と Sköldberg の [EHS06] で提案されたもののようであるが。

具体的な群の表現としては, とりあえず, 対称群の表現を知っていると色々役に立つ。

• 対称群の表現

有限群の表現に関係した興味深い現象としては, McKay correspondence がある。

• Klein 型特異点と McKay correspondence

References

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.

[Car83]

Gunnar Carlsson. “G. B. Segal’s Burnside ring conjecture for \((\mathbf {Z}/2)^{k}\)”. In: Topology 22.1 (1983), pp. 83–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(83)90046-0.

[Car84]

Gunnar Carlsson. “Equivariant stable homotopy and Segal’s Burnside ring conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 120.2 (1984), pp. 189–224. url: http://dx.doi.org/10.2307/2006940.

[CP]

John Collins and David Perkinson. Frobenius polytopes. arXiv: 1102. 0988.

[Dad78]

Everett Dade. “Endo-permutation modules over \(p\)-groups. II”. In: Ann. of Math. (2) 108.2 (1978), pp. 317–346. url: https://doi.org/10.2307/1971169.

[DE09]

Mathieu Dutour Sikirić and Graham Ellis. “Wythoff polytopes and low-dimensional homology of Mathieu groups”. In: J. Algebra 322.11 (2009), pp. 4143–4150. arXiv: 0812 . 4291. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.09.031.

[EHS06]

Graham Ellis, James Harris, and Emil Sköldberg. “Polytopal resolutions for finite groups”. In: J. Reine Angew. Math. 598 (2006), pp. 131–137. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2006.071.

[HKR00]

Michael J. Hopkins, Nicholas J. Kuhn, and Douglas C. Ravenel. “Generalized group characters and complex oriented cohomology theories”. In: J. Amer. Math. Soc. 13.3 (2000), 553–594 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-00-00332-5.

[MW]

Jeroen van der Meer and Richard Wong. Endotrivial modules for cyclic \(p\)-groups and generalized quaternion groups via Galois descent. arXiv: 2107.06308.