C∗-algebra の例

\(C^*\)-algebra の例として, まず基本的なのは, 可換なもの, つまり (locally) compact Hausdorff 空間上の連続関数の成す \(C^*\)-algebra である。

非可換なものは, 様々な幾何学的および代数的構造から構成される。 まず (locally compact) 群や groupoid などから作られるものがある。

• group \(C^*\)-algebra
• reduced group \(C^*\)-algebra
• groupoid \(C^*\)-algebra
• reduced groupoid \(C^*\)-algebra

Groupoid \(C^*\)-algebra については, Renault の本 [Ren80] や Paterson の本 [Pat99] がある。 Debord と Lescure の [DL10] は, 簡潔にまとまっている。

Mesland [Mes11] によると, groupoid \(C^*\)-algebra は, group \(C^*\)-algebra 以外に以下の \(C^*\)-algebra を含む。

• graph \(C^*\)-algebra
• Cuntz-Krieger algebra
• Cuntz algebra
• foliation の \(C^*\)-algebra

Paterson の本には, inverse semigroup \(C^*\)-algebra についても詳しく書いてある。より一般の semigroup についても Li [Li12] が定義している。

• semigroup \(C^*\)-algebra

Cuntz と Echterhoff と Li [CEL] は, その \(K\)-theory を計算している。 Li [Li14; Li16] は, semigroup \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory を数論に応用しようとしている。

Cuntz と Li は, 環から \(C^*\)-algebra を作ることも考えている。 [Cun08; CL10; Li10; CL11] などである。

• ring \(C^*\)-algebra

また, Cuntz ら [CDL13] は, 代数体から \(C^*\)-algebra を作ることも考えている。

逆に \(K_{0}\) が ring of algebraic integers になるような \(C^*\)-algebra もある。Nikolaev の [Nik] では, Effrosの [Eff81] が参照されている。また, Nikolaev は [Nik16] で \(K_{0}\) が cluster algebra になるような AF-algebra を考えて, cluster \(C^*\)-algebra と呼んでいる。 Glubokov と Nikolaev の [GN] では, Nikolaev の本 [Nik22] の Section 4.4 が参照されている。

• cluster \(C^*\)-algebra

位相空間, 特に有限CW複体と関係したものとして, Villadsen algebra というものがある。 名前の通り Villadsen [Vil98; Vil99] により導入された。

• Villadsen algebra of the first type
• Villadsen algebra of the second type

Villadsen algebra of the first type は, seed space と呼ばれる compact Hausdorff 空間を用いて定義されるが, 特に seed space が有限 CW複体であるときの性質について Toms と Winter [TW09] が調べている。

References

[CDL13]

Joachim Cuntz, Christopher Deninger, and Marcelo Laca. “\(C^*\)-algebras of Toeplitz type associated with algebraic number fields”. In: Math. Ann. 355.4 (2013), pp. 1383–1423. arXiv: 1105.5352. url: https://doi.org/10.1007/s00208-012-0826-9.

[CEL]

Joachim Cuntz, Siegfried Echterhoff, and Xin Li. On the \(K\)-theory of the \(C^{*}\)-algebra generated by the left regular representation of an Ore semigroup. arXiv: 1201.4680.

[CL10]

Joachim Cuntz and Xin Li. “The regular \(C^\ast \)-algebra of an integral domain”. In: Quanta of maths. Vol. 11. Clay Math. Proc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 149–170. arXiv: 0807.1407.

[CL11]

Joachim Cuntz and Xin Li. “\(C^{*}\)-algebras associated with integral domains and crossed products by actions on adele spaces”. In: J. Noncommut. Geom. 5.1 (2011), pp. 1–37. arXiv: 0906.4903. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/68.

[Cun08]

Joachim Cuntz. “\(C^*\)-algebras associated with the \(ax+b\)-semigroup over \(\N \)”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 201–215. arXiv: math/0611541. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/8.

[DL10]

Claire Debord and Jean-Marie Lescure. “Index theory and groupoids”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 86–158. arXiv: 0801. 3617. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511712135.004.

[Eff81]

Edward G. Effros. Dimensions and \(C^{*}\)-algebras. Vol. 46. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Washington, D.C.: Conference Board of the Mathematical Sciences, 1981, pp. v+74. isbn: 0-8218-1697-7.

[GN]

Andrey Glubokov and Igor Nikolaev. \(K\)-theory of Jones polynomials. arXiv: 2110.05640.

[Li10]

Xin Li. “Ring \(C^*\)-algebras”. In: Math. Ann. 348.4 (2010), pp. 859–898. arXiv: 0905 . 4861. url: https://doi.org/10.1007/s00208-010-0502-x.

[Li12]

Xin Li. “Semigroup \(\mathrm {C}^*\)-algebras and amenability of semigroups”. In: J. Funct. Anal. 262.10 (2012), pp. 4302–4340. arXiv: 1105.5539. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2012.02.020.

[Li14]

Xin Li. “On K-theoretic invariants of semigroup \(\mathrm {C}^{*}\)-algebras attached to number fields”. In: Adv. Math. 264 (2014), pp. 371–395. arXiv: 1212.3199. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.07.014.

[Li16]

Xin Li. “On K-theoretic invariants of semigroup \(\mathrm {C}^{*}\)-algebras attached to number fields, Part II”. In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 1–11. arXiv: 1503.01708. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.12.024.

[Mes11]

Bram Mesland. “Groupoid cocycles and K-theory”. In: Münster J. Math. 4 (2011), pp. 227–249. arXiv: 1005.3677.

[Nik]

Igor Nikolaev. Remark on arithmetic topology. arXiv: 1706.06398.

[Nik16]

Igor V. Nikolaev. “On cluster \(C^*\)-algebras”. In: J. Funct. Spaces (2016), Art. ID 9639875, 8. arXiv: 1508.00591. url: https://doi.org/10.1155/2016/9639875.

[Nik22]

Igor V. Nikolaev. Noncommutative geometry—a functorial approach. Vol. 66. De Gruyter Studies in Mathematics. Second edition [of 3751373]. De Gruyter, Berlin, [2022] ©2022, pp. xix+378. isbn: 978-3-11-078860-0; 978-3-11-078870-9; 978-3-11-078881-5.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Ren80]

Jean Renault. A groupoid approach to \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 793. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980, pp. ii+160. isbn: 3-540-09977-8.

[TW09]

Andrew S. Toms and Wilhelm Winter. “The Elliott conjecture for Villadsen algebras of the first type”. In: J. Funct. Anal. 256.5 (2009), pp. 1311–1340. arXiv: math / 0611059. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2008.12.015.

[Vil98]

Jesper Villadsen. “Simple \(C^*\)-algebras with perforation”. In: J. Funct. Anal. 154.1 (1998), pp. 110–116. url: https://doi.org/10.1006/jfan.1997.3168.

[Vil99]

Jesper Villadsen. “On the stable rank of simple \(C^\ast \)-algebras”. In: J. Amer. Math. Soc. 12.4 (1999), pp. 1091–1102. url: https://doi.org/10.1090/S0894-0347-99-00314-8.