位相空間上の C∗-algebra

位相空間 \(X\) 上の \(C^*\)-algebra \(A\) とは何だろうか。 同じ category の object なら, comma category の object として定義できるが。\(X\)が (局所) コンパクト Hausdorff空間だったり, \(A\) が可換だったりする場合は, Gel\('\)fand-Naimark duality により, どっちかの category に持って行って定義することはできる。そのような定義は, Kasparov により [Kas88] で考えられていた。

Kirchberg [Kir00] は, \(C^*\)-algebra の分類のために, Hausdorff ではない空間上の \(C^*\)-algebra とその \(KK\)-theory を使うことを考えた。

Meyer と Nest [MN09] は, それらの定義を整理し, \(A\) の primitive ideal の成す空間から \(X\) への連続写像として定義した。

Hausdorff でない空間というと, finite \(T_0\)-space や Alexandroff space が思い浮かぶが, 実際 Meyer と Nest [MN12] は, それらの空間上の \(C^*\)-algebra の \(KK\)-theory を考えている。

References

[Kas88]

G. G. Kasparov. “Equivariant \(KK\)-theory and the Novikov conjecture”. In: Invent. Math. 91.1 (1988), pp. 147–201. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01404917.

[Kir00]

Eberhard Kirchberg. “Das nicht-kommutative Michael-Auswahlprinzip und die Klassifikation nicht-einfacher Algebren”. In: \(C^*\)-algebras (Münster, 1999). Berlin: Springer, 2000, pp. 92–141.

[MN09]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(C^*\)-algebras over topological spaces: the bootstrap class”. In: Münster J. Math. 2 (2009), pp. 215–252. arXiv: 0712.1426.

[MN12]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(\mathrm{C}^*\)-algebras over topological spaces: filtrated K-theory”. In: Canad. J. Math. 64.2 (2012), pp. 368–408. arXiv: 0810.0096. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-2011-061-x.