C∗-algebra の基礎

\(C^*\)-algebra について, 細かいことは色々あるが, ホモトピー論の視点からは, まずその圏の構造から理解するのがよいように思う。

• \(C^*\)-algebra と \(*\)-homomorphism の成す圏
• 極大イデアルの成す空間
• Gel\('\)fand-Naimark duality, つまりコンパクト Hausdorff 空間の圏が, 可換な \(\bbC \) 上の \(C^*\)-algebra の圏と (contravariantに) 同値であること。

\(C^*\)-algebra の \(K\)-theory の間の準同型を誘導する moprhism として, Connes と Higson [CH90] は, asymptotic morphism を導入した。Up to homotopy で合成することもできる。Equivariant 版は, Guentner と Higson と Trout の [GHT00] で定義された。

• \(C^*\)-algebra の asymptotic homotopy category

Asymptotic homotopy category を用いると, bivariant \(K\)-theory の一種である \(E\)-theory が定義される。

Monoidal structure などの \(C^*\)-algebra の圏の構造については, Meyer の [Mey08] が簡潔にまとまっていてよい。

• \(C^*\)-algebra の圏は complete かつ cocomplete
• \(C^*\)-algebra の圏は maximal tensor product により symmetric monoidal category になる。

\(C^*\)-algebra の性質でいくつか知っておいた方がよいものがある。 これらについても, Meyer の [Mey08] に書いてある。

• separable \(C^*\)-algebra
• nuclear \(C^*\)-algebra

実数値関数を考える時には, \(\R \) 上の \(C^*\)algebra の類似が必要になる。例えば, \(KO\)-theory を考える時など。これについては, type I の \(D\)-brane charge と \(KO\)-homology の関係という観点から, Reis と Szabo と Valentino の [RSV09] で real \(C^*\)-algebra に関する基本的な事柄についてまとめられている。そこでは, real \(C^*\)-algebra に関する参考文献として, Goodearl の本 [Goo82] と B.-R. Li の本 [Li92] が挙げられている。

• real \(C^*\)-algebra

References

[CH90]

Alain Connes and Nigel Higson. “Déformations, morphismes asymptotiques et \(K\)-théorie bivariante”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 311.2 (1990), pp. 101–106.

[GHT00]

Erik Guentner, Nigel Higson, and Jody Trout. “Equivariant \(E\)-theory for \(C^*\)-algebras”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 148.703 (2000), pp. viii+86.

[Goo82]

K. R. Goodearl. Notes on real and complex \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 5. Shiva Mathematics Series. Shiva Publishing Ltd., Nantwich, 1982, pp. iv+211. isbn: 0-906812-16-X.

[Li92]

Bing Ren Li. Introduction to operator algebras. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1992, pp. xvi+738. isbn: 981-02-0941-X.

[Mey08]

Ralf Meyer. “Categorical aspects of bivariant \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 1–39. arXiv: math/0702145. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/1.

[RSV09]

Rui M. G. Reis, Richard J. Szabo, and Alessandro Valentino. “KO-homology and type I string theory”. In: Rev. Math. Phys. 21.9 (2009), pp. 1091–1143. arXiv: hep-th/0610177. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X09003839.