Band

Real central hyperplane arrangement の face poset 上には, matroid product という積が定義されるが, これにより face poset は semigroup になる。もちろん, 一般の oriented matroid の covector の集合も semigroup になる。 この oriented matroid の covector の間の積では, \(x^2=x\) や \(xyx=xy\) という関係がが常に成り立っている。\(x^2=x\) をみたす semigroup を band と いい, \(xyx=xy\) をみたすものを, left regular band という。

• left regular band

Left regular band については, Kenneth S. Brown の [Bro00] の Appendix B や Saliola の [Sal07] の §2 に簡単に解説されている。

Brown らの仕事の元になっているのは, Bidigare と Hanlon と Rockmore [BHR99] による hyperplane arrangement 上の random walk に関する結果である。Brown [Bro00] はそれを left regular band へ一般化した。

その際に, left regular band の semigroup ring の表現論が使われたが, left regular band の semigroup ring については, Saliola が [Sal09; Sal07] などで調べている。

• real central hyperplane arrangement の semigroup ring は Koszul であり, その Koszul dual は, support latticeのdual lattice の incidence algebra である。
• left regular band の semigroup ring から得られる quiver

Saliola は, hyperplane arrangement の left regular band の semigroup ring から得られる quiver の path algebra についても調べていて興味深い。

Semigroup からは, Green [Gre51] の方法により preordered set が定義されるが, left regular band の場合は, それが poset になる。

• left regular band の poset

Margolis と Saliola と Steinberg [MSSb] は, その poset の topology と left-regular band の semigroup ring の代数的性質の関係を調べている。 更に [MSSa] でその研究を発展させて, poset topology との関係を調べている。

Knauer と Knauer [KK] は, \(n\) 個の元 \(\{r_1,\ldots ,r_n\}\) 上に \(r_ir_j=r_j\) で積を定義してできる semigroup を right zero band と呼んでいる。

• right zero band

彼等は right zero bandと群の直積になっている semigroup の Cayley graph が planar になる条件を考えている。

References

[BHR99]

Pat Bidigare, Phil Hanlon, and Dan Rockmore. “A combinatorial description of the spectrum for the Tsetlin library and its generalization to hyperplane arrangements”. In: Duke Math. J. 99.1 (1999), pp. 135–174. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-99-09906-4.

[Bro00]

Kenneth S. Brown. “Semigroups, rings, and Markov chains”. In: J. Theoret. Probab. 13.3 (2000), pp. 871–938. arXiv: math/0006145. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007822931408.

[Gre51]

J. A. Green. “On the structure of semigroups”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 163–172. url: https://doi.org/10.2307/1969317.

[KK]

Kolja Knauer and Ulrich Knauer. On planar right groups. arXiv: 1309.5236.

[MSSa]

Stuart Margolis, Franco Saliola, and Benjamin Steinberg. Cell complexes, poset topology and the representation theory of algebras arising in algebraic combinatorics and discrete geometry. arXiv: 1508.05446.

[MSSb]

Stuart Margolis, Franco Saliola, and Benjamin Steinberg. Combinatorial Topology and the Global Dimension of Algebras Arising in Combinatorics. arXiv: 1205.1159.

[Sal07]

Franco V. Saliola. “The quiver of the semigroup algebra of a left regular band”. In: Internat. J. Algebra Comput. 17.8 (2007), pp. 1593–1610. arXiv: math/0608698. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218196707004219.

[Sal09]

Franco V. Saliola. “The face semigroup algebra of a hyperplane arrangement”. In: Canad. J. Math. 61.4 (2009), pp. 904–929. arXiv: math/0511717. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-2009-046-2.