Inverse Semigroups

Semigroup は, monoid の定義で, 単位元の存在を省いたものであるが, 単位元はなくても逆元は定義できる。 全ての元が逆元を持つものを inverse semigroup という。

• semigroup における逆元

Vershinin の [Ver09] によると, 最初に考えたのは V.V. Wagner という人 (1952年ロシア語) らしい。 ただ Lawson [Law] によると, 独立に Ehresmann と Preston によっても考えられたようである。

Inverse semigroup については, Resende の [Res07] の §2.3 に簡単にまとめられている。そこでは, inverse semigroup については, [Law98] と [Pat99] が参考文献として挙げられている。 他には, 上に挙げた Lawson の [Law] がある。

Paterson の本によると, inverse semigroup は \(C^*\)-algebra にとって groupoid と並んで重要なもののようである。

実際, inverse semigroup と groupoid は密接に関係している。Paterson の本に書かれているものとは別の関係があることを Aukhadiev [Auk] が指摘している。 また, Exel [Exe08] は inverse semigroup から totally disconnected étale groupoid を構成する方法を発見している。

Jones と Lawson [JL] によると, Cuntz-Krieger algebra や Leavitt path algebra などに関連して, graph inverse semigroup というものも考えられている。

• graph inverse semigroup

Lawson の [Law11] によると, Wagner により考えられた generalized heap という代数的構造は, inverse semigroup を考えるために重要なもののようである。彼は, それにより inverse semigroup の Morita 同値を定義している。

• inverse semigroup の Morita 同値

Schwab は, [Sch04a; Sch04b; Sch09; SV] で, small category の Euler標数との関係を調べている。

Inverse semigroup に対して idempotent を object として small category を構成することは, 他にも Loganathan [Log81] により考えられている。 その動機は, Lausch による inverse semigroup の cohomology を small category の cohomology として表すことだった。その後, Loganathan の category を用いて inverse semigroup の classifying topos が定義されている。 これについては, Kudryavtseva と Škraba の [KŠ] の Introduction で挙げられている文献を見るとよい。

• inverse semigroup の cohomology
• inverse semigroup の Loganathan category
• inverse semigroup の classifying topos

有限群の基本的な例が対称群であるように, inverse semigroup の基本は, partial permutation の成す inverse semigroup (symmetric inverse monoid) である。

• partial permutation
• 有限集合上の symmetric inverse monoid

対称群と関連の深い群として braid 群 があるが, 対応して inverse braid monoid も存在する。Easdown と Lavers の [EL04] で構成された。Vershinin の [Ver09] で braid 群の様々な性質の類似が成り立つことが示されている。

• inverse braid monoid

Inverse braid monoid も含めた inverse monoid の構成については, category theory 的なアプローチ [KM08] もある。

References

[Auk]

Marat Aukhadiev. Groupoids viewed as inverse semigroups. arXiv: 1604.08585.

[EL04]

D. Easdown and T. G. Lavers. “The inverse braid monoid”. In: Adv. Math. 186.2 (2004), pp. 438–455. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.07.014.

[Exe08]

Ruy Exel. “Inverse semigroups and combinatorial \(C^\ast \)-algebras”. In: Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) 39.2 (2008), pp. 191–313. arXiv: math/0703182. url: https://doi.org/10.1007/s00574-008-0080-7.

[JL]

David G. Jones and Mark V. Lawson. Graph inverse semigroups: their characterization and completion. arXiv: 1106.3644.

[KM08]

Ganna Kudryavtseva and Volodymyr Mazorchuk. “Partialization of categories and inverse braid-permutation monoids”. In: Internat. J. Algebra Comput. 18.6 (2008), pp. 989–1017. arXiv: math/0610730. url: https://doi.org/10.1142/S0218196708004731.

[KŠ]

Ganna Kudryavtseva and Primož Škraba. The principal bundles over an inverse semigroup. arXiv: 1503.08560.

[Law]

Mark V Lawson. Primer on inverse semigroups I. arXiv: 2006.01628.

[Law11]

M. V. Lawson. “Generalized heaps, inverse semigroups and Morita equivalence”. In: Algebra Universalis 66.4 (2011), pp. 317–330. arXiv: 1104.2458. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00012-011-0162-z.

[Law98]

Mark V. Lawson. Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1998, pp. xiv+411. isbn: 981-02-3316-7. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812816689.

[Log81]

M. Loganathan. “Cohomology of inverse semigroups”. In: J. Algebra 70.2 (1981), pp. 375–393. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(81)90225-8.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math/0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Sch04a]

Emil Daniel Schwab. “Möbius categories as reduced standard division categories of combinatorial inverse monoids”. In: Semigroup Forum 69.1 (2004), pp. 30–40. url: https://doi.org/10.1007/s00233-004-0112-6.

[Sch04b]

Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of some combinatorial inverse semigroups”. In: Semigroup Forum 69.1 (2004), pp. 41–50. url: https://doi.org/10.1007/s00233-004-0113-5.

[Sch09]

Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of a combinatorial inverse monoid with zero”. In: Ann. Sci. Math. Québec 33.1 (2009), pp. 93–113.

[SV]

Emil Daniel Schwab and Juan Villarreal. The Computation of the Möbius Function of a Möbius Category. arXiv: 1210.7697.

[Ver09]

V. V. Vershinin. “On the inverse braid monoid”. In: Topology Appl. 156.6 (2009), pp. 1153–1166. arXiv: 0704.3002. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.10.007.