Knizhnik-Zamolodchikov方程式と関連した話題

Knizhnik-Zamolodchikov 方程式は, [KZ84] で2次元の conformal field theory を調べるために導入された。

代数的トポロジーとの関連としては, 複素平面の configuration space \(\mathrm {Conf}_n(\bbC )\) との関連をまず理解したい。 対称群 \(\Sigma _n\) の表現 \(V\) が与えられると, vector bundle \[ \mathrm {Conf}_n(\bbC )\times _{\Sigma _n} V \longrightarrow \mathrm {Conf}_n(\bbC )/\Sigma _n \] ができるが, 重要なのは, \(V\) があるLie algebra \(\mathfrak {g}\) の表現 \(M\) の tensor power \(V=M^{\otimes n}\) となっている場合である。この場合 Knizhnik-Zamolodchikov connection とい う connection が定義される。

• Knizhnik-Zamolodchikov connection

重要なことは, semisimple complex Lie algebra \(\mathfrak {g}\) に対し, Knizhnik-Zamolodchikov connection の monodoromy として, braid group の表現が得られることである。 その表現と quantum enveloping algebra \(U_q(\mathfrak {g})\) から得られる表現の関係を調べたのが Kohno の [Koh87] である。 Karaali の [Kar08] によると, Drinfel\('\)d が [Dri89] で quasi-bialgebra (quasi-Hopf algebra) を導入したのは, この結果の自然な証明を与えるためだったようである。

また, 関連して Drinfel\('\)d は [Dri90]で associator と Grothendieck-Teichmüller group を導入している。

• Drinfel\('\)d associator と Grothendieck-Teichmüller group

Cirio と Martins [CM17] は, Knizhnik-Zamolodchikov connection の categorification を考えるために, Lie \(2\)-group を用いている。

References

[CM17]

Lucio Simone Cirio and João Faria Martins. “Categorifying the \(\mathfrak {sl}(2,\bbC )\) Knizhnik-Zamolodchikov connection via an infinitesimal 2-Yang-Baxter operator in the string Lie-2-algebra”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 21.1 (2017), pp. 147–229. arXiv: 1207 . 1132. url: https://doi.org/10.4310/ATMP.2017.v21.n1.a3.

[Dri89]

V. G. Drinfel\('\)d. “Quasi-Hopf algebras”. In: Algebra i Analiz 1.6 (1989), pp. 114–148.

[Dri90]

V. G. Drinfel\('\)d. “On quasitriangular quasi-Hopf algebras and on a group that is closely connected with \(\mathrm {Gal}(\overline {\mathbf {Q}}/{\mathbf {Q}})\)”. In: Algebra i Analiz 2.4 (1990), pp. 149–181.

[Kar08]

Gizem Karaali. “On Hopf algebras and their generalizations”. In: Comm. Algebra 36.12 (2008), pp. 4341–4367. arXiv: math/0703441. url: https://doi.org/10.1080/00927870802182424.

[Koh87]

Toshitake Kohno. “Monodromy representations of braid groups and Yang-Baxter equations”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 37.4 (1987), pp. 139–160. url: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1987__37_4_139_0.

[KZ84]

V. G. Knizhnik and A. B. Zamolodchikov. “Current algebra and Wess-Zumino model in two dimensions”. In: Nuclear Phys. B 247.1 (1984), pp. 83–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(84)90374-2.