Topological Fundamental Groups and Topological Homotopy Groups

基本群を位相群とみなすことは, Biss の [Bis02] で初めて目にした。 Biss の動機は, 基本群と 被覆空間の関係, 特に普遍被覆の存在のためには半局所単連結という変な条件が付くことだったようである。 アイデアは単純で, ループ空間の商空間としての位相を考えるというだけである。

Biss の論文の Theorem 5.1 として, この位相の入った基本群が discrete であるための必要十分条件が, \(X\) が半局所単連結であることと同値であることが述べられているが, 残念ながらその証明には gap がある。Calcut と McCarthy は [CM09] で, \(X\) に局所弧状連結という条件を付けて証明している。

この Calcut と McCarthy の論文によると, 基本群の位相は, 古くは1935年に Hurewicz が考えていた [Hur35] ようである。 Dugundji の仕事 [Dug50] もある。

位相の入った群, ということで, 位相群になりそうな気がするが, 一般にはそれは正しくないようである。 Hawaiian earring のときに積が連続にならないこのは, Fabel [Fab11] が示している。 Brazas は, [Bra11] で更に多くの例を発見している。

そこで, Brazas は, [Bra13] で位相群になるような位相を新しく定義することを提案している。Brazas は, その続編 [Bra12] で 被覆空間の理論も一般化している。

一方, Brazas は Fabel との共著 [BF15] では, 等化位相により quasitopological group として考えることを提案している。

• quasitopological group としての基本群

Brazas の他にも, 新しい位相を考えている人はいる。 Brodskiy らの [Bro+] では, Melikhov の [Mel09] や Brodskiy らの [Bro+12] が挙げられている。

Brodskiy らが [Bro+] で考えているのは, Spanier の本 [Spa81] の 82ページの Theorem 13 の証明の中で導入された, universal covering 上の位相である。彼等はそれを whisker topology と呼んでいる。 また, [Bro+12] で導入されたものを lasso topology と呼んでいる。

• whisker topology
• lasso topology

コンパクト開位相で定義したものとの比較は, Jamali らの [Jam+19] で行なわれている。

Virk [Vir10; Vir11] は, topological fundamental group が discrete にならないような空間については, small loop を考えることを提案している。Torabi らの [TPM15] の Introduction を見るとよい。

• small loop group
• small generated subgroup of topological fundamental group

このような変な空間の topological fundamental group を考えるために, homotopically Hausdorff などの条件が考えられている。Conner や Zaslow らの [CC06; Con+08] など。

• homotopically Hausdorff
• strong homotopically Hausdorff
• path-homotopically Hausdorff

高次 ホモトピー群への一般化も考えられている。Ghane らの [Gha+08; GH09; PTM; Gha+10] などである。 Babaee ら [Bab+20] は, whisker topology を高次ホモトピー群へ一般化している。

Nasri ら [NMM15] は, limit の quasitopological group としてのホモトピー群を調べている。

• quasitopological group としてのホモトピー群

Fabel の [Fab12] では, ホモトピー群が位相群にならない例が構成されている。よって quasitopological group として考えないといけない。

Brazas [Bra18] は, 基本群の高次ホモトピー群への作用を考え, 一般には連続にならないことを示している。

Nasriら [NMT20] は, \(k\)重ループ空間を取ることと, ホモトピー群の次数を \(k\) ずらすことの関係について調べている。 通常の場合と同様のことが成り立つようである。

Fischer ら [Fis+11] は, 同様の semilocal simple connectivity を考える目的で, Spanier group という群を考えている。

R. Brown と Danesh-Naruie [BD75] は, fundamental groupoid に位相を入れている。 Stevenson [Ste00] や Hardie, Kamps, Kieboom [HKK01] が fundamental bigroupoid を定義しているが, その上の位相については, David Roberts が [Rob16] で考えている。

Dessena [Dos] は位相空間の圏より大きな圏に値を持つ functor として基本群を定義することを考えている。

• epitopological fundamental group
• pseudotopological fundamental group

References

[Bab+20]

Ameneh Babaee et al. “On topological homotopy groups and relation to Hawaiian groups”. In: Hacet. J. Math. Stat. 49.4 (2020), pp. 1437–1449. arXiv: 2209.07195. url: https://doi.org/10.15672/hujms.565367.

[BD75]

R Brown and G. Danesh-Naruie. “The fundamental groupoid as a topological groupoid”. In: Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 19 (1974/75), pp. 237–244.

[BF15]

Jeremy Brazas and Paul Fabel. “On fundamental groups with the quotient topology”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.1 (2015), pp. 71–91. arXiv: 1304.6453. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0042-7.

[Bis02]

Daniel K. Biss. “The topological fundamental group and generalized covering spaces”. In: Topology Appl. 124.3 (2002), pp. 355–371. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00247-4.

[Bra11]

Jeremy Brazas. “The topological fundamental group and free topological groups”. In: Topology Appl. 158.6 (2011), pp. 779–802. arXiv: 1006.0119. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2011.01.022.

[Bra12]

Jeremy Brazas. “Semicoverings: a generalization of covering space theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 33–63. arXiv: 1108.3021. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a3.

[Bra13]

Jeremy Brazas. “The fundamental group as a topological group”. In: Topology Appl. 160.1 (2013), pp. 170–188. arXiv: 1009.3972. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2012.10.015.

[Bra18]

Jeremy Brazas. “On the discontinuity of the \(\pi _1\)-action”. In: Topology Appl. 247 (2018), pp. 29–40. arXiv: 1807.07976. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2018.07.008.

[Bro+]

N. Brodskiy, J. Dydak, B. Labuz, and A. Mitra. Topological and uniform structures on universal covering spaces. arXiv: 1206.0071.

[Bro+12]

N. Brodskiy, J. Dydak, B. Labuz, and A. Mitra. “Covering maps for locally path-connected spaces”. In: Fund. Math. 218.1 (2012), pp. 13–46. arXiv: 0801.4967. url: https://doi.org/10.4064/fm218-1-2.

[CC06]

J. W. Cannon and G. R. Conner. “On the fundamental groups of one-dimensional spaces”. In: Topology Appl. 153.14 (2006), pp. 2648–2672. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2005.10.008.

[CM09]

Jack S. Calcut and John D. McCarthy. “Discreteness and homogeneity of the topological fundamental group”. In: Topology Proc. 34 (2009), pp. 339–349. arXiv: 0904.4739.

[Con+08]

G. Conner, M. Meilstrup, D. Repovš, A. Zastrow, and M. Željko. “On small homotopies of loops”. In: Topology Appl. 155.10 (2008), pp. 1089–1097. arXiv: 0712.1722. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.01.009.

[Dos]

Giacomo Dossena. Epitopological and pseudotopological fundamental group functors. arXiv: 1707.05601.

[Dug50]

J. Dugundji. “A topologized fundamental group”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (1950), pp. 141–143.

[Fab11]

Paul Fabel. “Multiplication is discontinuous in the Hawaiian earring group (with the quotient topology)”. In: Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 59.1 (2011), pp. 77–83. arXiv: 0909.3086. url: https://doi.org/10.4064/ba59-1-9.

[Fab12]

Paul Fabel. “Compactly generated quasitopological homotopy groups with discontinuous multiplication”. In: Topology Proc. 40 (2012), pp. 303–309. arXiv: 1105.6363.

[Fis+11]

Hanspeter Fischer, Dušan Repovš, Žiga Virk, and Andreas Zastrow. “On semilocally simply connected spaces”. In: Topology Appl. 158.3 (2011), pp. 397–408. arXiv: 1102.0993. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.11.017.

[GH09]

H. Ghane and Z. Hamed. “On nondiscreteness of a higher topological homotopy group and its cardinality”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 16.1 (2009), pp. 179–183. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1235574202.

[Gha+08]

H. Ghane, Z. Hamed, B. Mashayekhy, and H. Mirebrahimi. “Topological homotopy groups”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 15.3 (2008), pp. 455–464. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1222783092.

[Gha+10]

F. H. Ghane, Z. Hamed, B. Mashayekhy, and H. Mirebrahimi. “On topological homotopy groups of \(n\)-Hawaiian like spaces”. In: Topology Proc. 36 (2010), pp. 255–266. arXiv: 1011.5707.

[HKK01]

K. A. Hardie, K. H. Kamps, and R. W. Kieboom. “A homotopy bigroupoid of a topological space”. In: Appl. Categ. Structures 9.3 (2001), pp. 311–327. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011270417127.

[Hur35]

Witold Hurewicz. “Homotopie, Homologie und lokaler Zusammenhang”. In: Fund. Math. 25.1 (1935), pp. 467–485.

[Jam+19]

Noorollah Jamali, Behrooz Mashayekhy, Hamid Torabi, Seyyed Zeynal Pashaei, and Mehdi Abdullahi Rashid. “On topologized fundamental groups with small loop transfer viewpoints”. In: Acta Math. Vietnam. 44.3 (2019), pp. 711–722. arXiv: 1708.02606. url: https://doi.org/10.1007/s40306-018-0264-1.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.

[NMM15]

T. Nasri, B. Mashayekhy, and H. Mirebrahimi. “On quasitopological homotopy groups of inverse limit spaces”. In: Topology Proc. 46 (2015), pp. 145–157. arXiv: 1201.1965.

[NMT20]

T. Nasri, H. Mirebrahimi, and H. Torabi. “Some results in quasitopological homotopy groups”. In: Ukraı̈n. Mat. Zh. 72.12 (2020), pp. 1663–1668. arXiv: 1703.01578. url: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i12.564.

[PTM]

Ali Pakdaman, Hamid Torabi, and Behrooz Mashayekhy. On H-groups and their applications to topological homotopy groups. arXiv: 1009.5176.

[Rob16]

David Michael Roberts. “A bigroupoid’s topology (or, Topologising the homotopy bigroupoid of a space)”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.4 (2016), pp. 923–942. arXiv: 1302.7019. url: https://doi.org/10.1007/s40062-016-0160-0.

[Spa81]

Edwin H. Spanier. Algebraic topology. Corrected reprint. New York: Springer-Verlag, 1981, pp. xvi+528. isbn: 0-387-90646-0.

[Ste00]

Danny Stevenson. “The Geometry of Bundle Gerbes”. PhD thesis. Adelaide University, 2000. arXiv: math/0004117.

[TPM15]

Hamid Torabi, Ali Pakdaman, and Behrooz Mashayekhy. “Topological fundamental groups and small generated coverings”. In: Math. Slovaca 65.5 (2015), pp. 1153–1164. arXiv: 1102.1080. url: https://doi.org/10.1515/ms-2015-0079.

[Vir10]

Žiga Virk. “Small loop spaces”. In: Topology Appl. 157.2 (2010), pp. 451–455. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2009.10.003.

[Vir11]

Žiga Virk. “Homotopical smallness and closeness”. In: Topology Appl. 158.3 (2011), pp. 360–378. arXiv: 1101.0714. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.11.010.