Topological Fundamental Groups and Topological Homotopy Groups

Biss は [Bis02] で, 位相の入った基本群の変種を調べた。 その動機は, 基本群と被覆空間の関係, 特に普遍被覆の存在のためには半局所単連結という変な条件が付くことだったようである。 アイデアは単純で, ループ空間の商空間としての位相を考えるというだけである。

• topological fundamental group

Biss の論文の Theorem 5.1 として, この位相の入った基本群が discrete であるための必要十分条件が, \(X\) が半局所単連結であることと同値であることが述べられているが, 残念ながらその証明には gap がある。Calcut と McCarthy は [CM09] で, \(X\) に局所弧状連結という条件を付けて証明している。

この Calcut と McCarthy の論文によると, 基本群の位相は, 古くは1935年に Hurewicz が考えていた [Hur35] ようである。Biss の前には, Dugundji の [Dug50] もあった。

位相の入った群, ということで, 位相群になりそうな気がするが, 一般にはそれは正しくないようである。Brazas の [Bra11] を見るとよい。そこで, Brazas は, [Bra13] で位相群になるような位相を新しく定義することを提案している。Brazasは, その続編 [Brab] で 被覆空間の理論も一般化している。

一方, Brazas は Fabel との共著 [BF] では, 等化位相により quasitopological group として考えることを提案している。

• quasitopological group としての基本群

コンパクト開位相以外の位相ではどうか, というのも自然な疑問であるが, それについては Brodskiy ら [Bro+] が考えている。 彼等は, Spanier の本 [Spa81] の 82ページの Theorem 13 の証明の中で導入された, universal covering 上の位相を用いたものを考えている。彼等はそれを whisker topology と呼んでいる。

• whisker fundamental group

コンパクト開位相で定義したものとの比較は, Jamali らの [Jam+] で行なわれている。

Virk [Vir10; Vir] は, topological fundamental group が discrete にならないような空間については, small loop を考えることを提案している。Torabi らの [TPM] の Introduction を見るとよい。

• small loop group
• small generated subgroup of topological fundamental group

このような変な空間の topological fundamental group を考えるために, homotopically Hausdorff などの条件が考えられている。Conner や Zaslow らの [CC06; Con+08] など。

• homotopically Hausdorff
• strong homotopically Hausdorff
• path-homotopically Hausdorff

高次ホモトピー群への一般化も考えられている。Ghane らの [Gha+08; GH09; PTM; Gha+] などである。 Nasri ら [NMM] は, limit の quasitopological group としてのホモトピー群を調べている。

• quasitopological group としてのホモトピー群

Fabel の [Fab] では, ホモトピー群が位相群にならない例が構成されている。よって quasitopological group として考えないといけない。

Brazas [Braa] は, 基本群の高次ホモトピー群への作用を考え, 一般には連続にならないことを示している。

Nasriら [NMT] は, \(k\)重ループ空間を取ることと, ホモトピー群の次数を \(k\) ずらすことの関係について調べている。 通常の場合と同様のことが成り立つようである。

Fischer ら [Fis+] は, 同様の semilocal simple connectivity を考える目的で, Spanier group という群を考えている。

R. Brown と Danesh-Naruie [BD75] は, fundamental groupoid に位相を入れている。 Stevenson [Ste00] や Hardie, Kamps, Kieboom [HKK01] が fundamental bigroupoid を定義しているが, その上の位相については, David Roberts が [Rob] で考えている。

Dessena [Dos] は位相空間の圏より大きな圏に値を持つ functor として基本群を定義することを考えている。

• epitopological fundamental group
• pseudotopological fundamental group

References

[BD75]

R Brown and G. Danesh-Naruie. “The fundamental groupoid as a topological groupoid”. In: Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 19 (1974/75), pp. 237–244.

[BF]

Jeremy Brazas and Paul Fabel. On fundamental groups with the quotient topology. arXiv: 1304.6453.

[Bis02]

Daniel K. Biss. “The topological fundamental group and generalized covering spaces”. In: Topology Appl. 124.3 (2002), pp. 355–371. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00247-4.

[Braa]

Jeremy Brazas. On the discontinuity of the \(\pi _1\)-action. arXiv: 1807.07976.

[Brab]

Jeremy Brazas. Semicoverings: a generalization of covering space theory. arXiv: 1108.3021.

[Bra11]

Jeremy Brazas. “The topological fundamental group and free topological groups”. In: Topology Appl. 158.6 (2011), pp. 779–802. arXiv: 1006.0119. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2011.01.022.

[Bra13]

Jeremy Brazas. “The fundamental group as a topological group”. In: Topology Appl. 160.1 (2013), pp. 170–188. arXiv: 1009.3972. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2012.10.015.

[Bro+]

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[CC06]

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[CM09]

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[Fab]

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[Fis+]

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[Gha+]

Fateme Helen Ghane, Zainab Hamed, Behrooz Mashayekhy, and Hanieh Mirebrahimi. On Topological Homotopy Groups of \(n\)-Hawaiian like spaces. arXiv: 1011.5707.

[Gha+08]

H. Ghane, Z. Hamed, B. Mashayekhy, and H. Mirebrahimi. “Topological homotopy groups”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 15.3 (2008), pp. 455–464. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1222783092.

[HKK01]

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[Jam+]

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[NMT]

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[PTM]

Ali Pakdaman, Hamid Torabi, and Behrooz Mashayekhy. On H-groups and their applications to topological homotopy groups. arXiv: 1009.5176.

[Rob]

David Michael Roberts. A bigroupoid’s topology (or, Topologising the homotopy bigroupoid of a space). arXiv: 1302.7019.

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[Ste00]

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[Vir10]

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