Blakers-Massey のホモトピー切除定理

Blakers と Massey は, [BM51; BM52; BM53] で, ホモトピー群の切除同型について研究した。 ホモロジーのような切除同型が, どこまで成り立つかという問題である。もちろん, 部分的にしか成り立たないが。

彼等は, この問題を考えるために, [BM51] で triad のホモトピー群を定義した。その Appendix では \(n\)-ad のホモトピー群も定義している。

• triad \((X; A, B)\) のホモトピー群
• より一般に \((n+1)\)-ad \((X;A_1,\ldots ,A_n)\) のホモトピー群

古典的な Blakers-Massey の切除定理は, ホモトピー論の教科書に解説がある。 例えば, Gray の本 [Gra75] や Whitehead の本 [Whi78] など。

Blakers-Massey の定理は, その後, 何人かにより一般化されているが, その証明は結構面倒である。例えば, Barratt と J.H.C. Whitehead によるもの [BW56], R. Brown と Loday によるもの [BL87b; BL87a], Ellis と Steiner [ES87] によるものがある。

一般の場合のホモトピー群の切除定理は, Goodwillie calculus の基礎の一つでもある。 Goodwillie の “Calculus” に関する2番目の論文 [Goo92] で詳しく調べられている。そこでは, triad (より一般に \(n\)-ad) のホモトピー群は cubical diagram の total homotopy fiber のホモトピー群として記述されている。更に, Goodwillie は total homotopy fiber のいくつかの有用な表し方を述べている。

そこで使われている Lemma の純粋にホモトピー論的な証明を Munson が [Mun14] で与えている。

他には, Chachólski と Scherer と Werndli [CSW16] によるアプローチもある。古典的な triad の場合の別証が得られているが, 彼等は Goodwillie 流の cubical diagram の場合も考えていると言っている。

Ching と Harper [CH16] は spectrum の場合を考えている。

最近では, homotopy type theory を用いたアプローチもある。 Hou, Finster, Licata, Lumsdaine の [Hou+16] や, それに基づいた Anel, Biedermann, Finster, Joyal による一般化 [Ane+20] など。

References

[Ane+20]

Mathieu Anel, Georg Biedermann, Eric Finster, and André Joyal. “A generalized Blakers-Massey theorem”. In: J. Topol. 13.4 (2020), pp. 1521–1553. arXiv: 1703.09050. url: https://doi.org/10.1112/topo.12163.

[BL87a]

Ronald Brown and Jean-Louis Loday. “Homotopical excision, and Hurewicz theorems for \(n\)-cubes of spaces”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 54.1 (1987), pp. 176–192. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-54.1.176.

[BL87b]

Ronald Brown and Jean-Louis Loday. “Van Kampen theorems for diagrams of spaces”. In: Topology 26.3 (1987). With an appendix by M. Zisman, pp. 311–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(87)90004-8.

[BM51]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. I”. In: Ann. of Math. (2) 53 (1951), pp. 161–205. url: https://doi.org/10.2307/1969346.

[BM52]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. II”. In: Ann. of Math. (2) 55 (1952), pp. 192–201. url: https://doi.org/10.2307/1969428.

[BM53]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. III”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 409–417. url: https://doi.org/10.2307/1969744.

[BW56]

M. G. Barratt and J. H. C. Whitehead. “The first nonvanishing group of an \((n+1)\)-ad”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), pp. 417–439.

[CH16]

Michael Ching and John E. Harper. “Higher homotopy excision and Blakers-Massey theorems for structured ring spectra”. In: Adv. Math. 298 (2016), pp. 654–692. arXiv: 1402 . 4775. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.04.025.

[CSW16]

Wojciech Chachólski, Jérôme Scherer, and Kay Werndli. “Homotopy excision and cellularity”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 66.6 (2016), pp. 2641–2665. arXiv: 1408.3252. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2016__66_6_2641_0.

[ES87]

Graham Ellis and Richard Steiner. “Higher-dimensional crossed modules and the homotopy groups of \((n+1)\)-ads”. In: J. Pure Appl. Algebra 46.2-3 (1987), pp. 117–136. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90089-2.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[Gra75]

Brayton Gray. Homotopy theory. An introduction to algebraic topology, Pure and Applied Mathematics, Vol. 64. New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1975, pp. xiii+368.

[Hou+16]

Kuen-Bang Hou, Eric Finster, Daniel R. Licata, and Peter LeFanu Lumsdaine. “A mechanization of the Blakers-Massey connectivity theorem in homotopy type theory”. In: Proceedings of the 31st Annual ACM-IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS 2016). ACM, New York, 2016, p. 10. arXiv: 1605.03227. url: https://doi.org/10.1145/2933575.2934545.

[Mun14]

Brian A. Munson. “A purely homotopy-theoretic proof of the Blakers-Massey theorem for \(n\)-cubes”. In: Homology Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 333–339. arXiv: 1205 . 6668. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a18.

[Whi78]

George W. Whitehead. Elements of homotopy theory. Vol. 61. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978, p. xxi 744. isbn: 0-387-90336-4.