Motivic Analogues of Topological Concepts and Facts

Voevodsky が motivic homotopy theory を構築した動機は, ICM の講義録 [Voe98] にも書かれているように, 代数的トポロジーの手法を代数幾何学に導入することだった。 当然, 代数的トポロジーの概念や手法が, motivic homotopy theory にどれぐらいどのような形で輸入できるか, というのは誰でも思うことだろう。

まず, 位相空間の類似が必要になるが, それは motivic space と呼ばれる。

• motivic space

ホモトピー不変量の類似として, 各種 cohomology theory が定義されるが, 重要なことは, 位相空間の場合のように, それらが表現できることである。 つまり, Brown の表現定理の類似が成り立つ。 Algebraic \(K\)-theory も表現できる。

• motivic cohomology
• algebraic \(K\)-theory

Motivic cohomology については, Voevodsky の lecture note が Weibel のホームページから download できる。それを表現する Eilenberg-Mac Lane spectrum の類似は [Voe98] で定義されている。Röndigs と Østvær [RØ08]は, その上の module category について調べている。それにより mixed Tate motif の成す category のホモトピー圏としての記述も得ている。

• motivic Eilenberg-Mac Lane spectrum

安定ホモトピー論では, 1990年代に symmetric monoidal category となる spectrum の圏が構成されたが, motivic な世界でも, 類似の構成が考えられている。

まず, symmetric spectrum については, Jardine [Jar00] により考えられている。また orthogonal spectrum に対応するものとしては, Garkusha [Gar] によるものがある。

無限ループ空間の理論の motivic 版もある。 May のアプローチに沿ったものとしては, Elemanto, Hoyois, Khan, Soslino, Yakerson の [Elm+21] がある。May の recognition principle の類似が証明されている。 Segal のアプローチ, すなわち \(\Gamma \)-space の類似は, Garkusha, Panin, Østvær [GPØ23] により考えられている。

Voevodsky の理論では, 一般コホモロジー, 特に complex cobordism の類似 \(\mathrm {MGL}\) が考えられることから, Adams の本 [Ada74] に解説されている手順で Poincaré duality などを証明しようというのは, 自然なアイデアである。それを実現したのが, Panin と Yagunov の [PY08] である。Panin は, 共同研究者と共に, 他の complex cobordism の持つ性質の類似を考えている。Complex oriented cohomology theory の中で, universal であるという性質については [PPR08] で, Conner-Floyd の同型については [PPR09] で, その類似を証明している。Naumann と Østvær と Spitzweck の [NSØ09b; NSØ09a] では, Landweber exact functor theorem の類似が考えられている。

• motivic Landweber exact functor theorem

\(\mathrm {MGL}\) を用いて定義される一般ホモロジー論を, 幾何学的に “scheme の cobordism” を用いて構成しょうというのは, 自然なアイデアである。それが Levine と Morel の algebraic cobordism [LM01a; LM01b]である。解説としては, Levin の ICM 2002 での講演録 [Lev02] がある。Levine と Pandharipande の [LP09] では, 別の構成方法が述べられている。

• algebraic cobordism

Zainoulline [Zai10]によると, Rost の degree formula の一般形は, Levine と Morel により algebraic cobordism の導入により得られた。 Zainoulline 自身は, その一般的な degree formula からconnective \(K\)-theory に関する degree formula を得て, imcompressibilityに関する応用を得ている。 Connective \(K\)-theory のように, 従来代数的トポロジーでしか使えなかった道具が使えるようになるというのは, 画期的である。

Algebraic cobordism での pullback を考えるときに smooth scheme だけでは間に合わないので, derived scheme を考えることを提案しているのは, Lowrey と Schürg [LS16] である。

• derived algebraic cobordism

Annala ら [Ann21; AY23; Ann23] が調べている。 Annala の thesis [Ann] にまとめられている。

Algebraic cobordism の étale topological version を考えているのが Quick の [Qui] である。例えば, étale cohomology から出発する Atiyah-Hirzebruch spectral sequence が構成されている。

Algebraic cobordism の equivariant 版は, Heller と Malagón-López [HM13] により導入された。

• equivariant algebraic cobordism

Scheme の \(K\)-theory については, Voevodsky の仕事以前に Quillen により定義されていた。代数多様体の 一般コホモロジーについては, Gillet と Soulé の [GS99] によるものがあり, その意味で algebraic \(K\)-theory は一般コホモロジー論になっている。Feliu の [Fel11] は, Chern character などを, Gillet と Soulé の意味の一般コホモロジーの間の natural transformation として解釈しようという試みである。

Chern character と言えば, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence であるが, Chow group と結びつける Atiyah-Hirzebruch spectral sequence も知られている。

Algebraic vector bundle の 無限次元 Grassmann多様体による分類については, Morel の [Mor12] で扱われている。

Atiyah-Hirzebruch spectral sequence を代数的トポロジーで定義するときは, CW複体の skeletal filtration に cohomology theory を apply してできる exact couple からできる spectral sequence として構成するのが普通であるが, その代数幾何での類似として, Levine が [Lev08] で homotopy coniveau tower という概念を導入している。

Dugger と Isaksen は [DI05] で cell structure を考えている。

Tubular neighborhood の存在については, Levine の [Lev07] を見るとよい。

代数的トポロジーでの complex oriented cohomology theory の類似については oriented cohomology theory という名前で導入されている。 Panin と Smirnov による, K-theory Preprint Archives の一連の preprint [PS; Pan] がある。 Panin の論文 [Pan03; Pan09] もある。 Equivariant 版については, Calmès と Zainoullineと Zhong の [CZZ15] を見るとよい。

• oriented cohomology theory
• equivariant oriented cohomology theory

安定ホモトピー論は, 現在では chromatic な視点から見るのが常識であるが, stable motivic homotopy theory についても periodicity が考えられている。Gheorghe [Ghe] は, Andrews の preprint を参照している。

Friedlander-Walker [FW01] の意味での semi-topological version も Krishna と Park の [KP15] で考えられている。

他にも以下のようなものが考えられている。

• motivic fundamental group
• motivic homotopy group
• James construction と EHP sequence [AWW17]
• Brouwer degree [Mor06]
• Hopf maps [DI13]
• Hurewicz map [CH22]
• localization や nilpotent space [AFH22]

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