Algebraic Cobordism

Voevodsky は, 複素 cobordism の類似 \(\mathrm {MGL}\) を導入したが, それを cycle とその間の relation により再構成したのは, Levine と Morel [LM01a; LM01b]である。 Levine と Pandharipande の [LP09] では, 別の構成方法が述べられている。

解説としては, Levine の ICM 2002 での講演録 [Lev02] や Levine と Morel の本 [LM07] がある。

複素 cobordism の最も重要な性質の一つとして, 複素向き付け可能なコホモロジー論の中での universality があるが, その類似も成り立つ。 複素向き付け可能なコホモロジーに対応するのが, oriented cohomology である。Panin と Smirnov により, K-theory Preprint Archives にある一連の論文 [PS; Pan] で導入された。Panin による論文 [Pan03; Pan09] もある。 Levin と Morel [LM07] によるものもある。

• oriented cohomology

複素向き付け可能なコホモロジー論と同じように, oriented cohomology は, それに付随する formal group law を持つ。 当然, Quillen の発見した 複素 cobordism の universality の類似を期待したくなる。

実際, 標数 \(0\) の体上では, Levine と Morel, そして Panin と Smirnov により示されている。その後, 正標数の体の場合は Hoyois [Hoy15] により, regular local ring の場合は Spitzweck [Spi20] により得られている。

Conner-Floyd の同型については Panin らが [PPR09] でその類似を証明している。Naumann と Østvær と Spitzweck の [NSØ09b; NSØ09a] では, Landweber exact functor theorem の類似が考えられている。

• motivic Landweber exact functor theorem

Zainoulline [Zai10]によると, Rost の degree formula の一般形は, Levine と Morel により algebraic cobordism の導入により得られた。 Zainoulline 自身は, その一般的な degree formula から connective \(K\)-theory に関する degree formula を得て, imcompressibility に関する応用を得ている。 Connective \(K\)-theory のように, 従来代数的トポロジーでしか使えなかった道具が使えるようになるというのは, 画期的である。

Algebraic cobordism での pullback を考えるときに smooth scheme だけでは間に合わないので, derived scheme を考えることを提案しているのは, Lowrey と Schürg [LS16] である。

• derived algebraic cobordism

Annala ら [Ann21; AY23; Ann23] が調べている。 Annala の thesis [Ann] にまとめられている。

Algebraic cobordism の étale topological version を考えているのが Quick の [Qui] である。例えば, étale cohomology から出発する Atiyah-Hirzebruch spectral sequence が構成されている。

Algebraic cobordism の equivariant 版は, Heller と Malagón-López [HM13] により導入された。

• equivariant algebraic cobordism

References

[Ann]

Toni Annala. Derived Algebraic Cobordism. arXiv: 2203.12096.

[Ann21]

Toni Annala. “Bivariant derived algebraic cobordism”. In: J. Algebraic Geom. 30.2 (2021), pp. 205–252. arXiv: 1807.04989. url: https://doi.org/10.1090/jag/754.

[Ann23]

Toni Annala. “Chern classes in precobordism theories”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 25.4 (2023), pp. 1379–1422. arXiv: 1911.12493. url: https://doi.org/10.4171/jems/1219.

[AY23]

Toni Annala and Shoji Yokura. “Bivariant algebraic cobordism with bundles”. In: Algebr. Geom. 10.4 (2023), pp. 461–488. arXiv: 1911.12484. url: https://doi.org/10.14231/ag-2023-015.

[HM13]

Jeremiah Heller and José Malagón-López. “Equivariant algebraic cobordism”. In: J. Reine Angew. Math. 684 (2013), pp. 87–112. arXiv: 1006.5509. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2011-0004.

[Hoy15]

Marc Hoyois. “From algebraic cobordism to motivic cohomology”. In: J. Reine Angew. Math. 702 (2015), pp. 173–226. arXiv: 1210.7182. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0038.

[Lev02]

M. Levine. “Algebraic cobordism”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 57–66. arXiv: math/0304206.

[LM01a]

Marc Levine and Fabien Morel. “Cobordisme algébrique. I”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 332.8 (2001), pp. 723–728. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(01)01832-8.

[LM01b]

Marc Levine and Fabien Morel. “Cobordisme algébrique. II”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 332.9 (2001), pp. 815–820. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(01)01833-X.

[LM07]

M. Levine and F. Morel. Algebraic cobordism. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer, 2007, pp. xii+244. isbn: 978-3-540-36822-9; 3-540-36822-1.

[LP09]

M. Levine and R. Pandharipande. “Algebraic cobordism revisited”. In: Invent. Math. 176.1 (2009), pp. 63–130. arXiv: math/0605196. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0160-8.

[LS16]

Parker E. Lowrey and Timo Schürg. “Derived algebraic cobordism”. In: J. Inst. Math. Jussieu 15.2 (2016), pp. 407–443. arXiv: 1211.7023. url: https://doi.org/10.1017/S1474748014000334.

[NSØ09a]

Niko Naumann, Markus Spitzweck, and Paul Arne Østvær. “Chern classes, \(K\)-theory and Landweber exactness over nonregular base schemes”. In: Motives and algebraic cycles. Vol. 56. Fields Inst. Commun. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 307–317. arXiv: 0809.0267. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0062-3.

[NSØ09b]

Niko Naumann, Markus Spitzweck, and Paul Arne Østvær. “Motivic Landweber exactness”. In: Doc. Math. 14 (2009), pp. 551–593. arXiv: 0806.0274.

[Pan]

Ivan Panin. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties II. K-theory Preprint Archive 619. url: http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0619/.

[Pan03]

I. Panin. “Oriented cohomology theories of algebraic varieties”. In: \(K\)-Theory 30.3 (2003). Special issue in honor of Hyman Bass on his seventieth birthday. Part III, pp. 265–314. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:KTHE.0000019788.33790.cb.

[Pan09]

Ivan Panin. “Oriented cohomology theories of algebraic varieties. II (After I. Panin and A. Smirnov)”. In: Homology Homotopy Appl. 11.1 (2009), pp. 349–405. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832570.

[PPR09]

Ivan Panin, Konstantin Pimenov, and Oliver Röndigs. “On the relation of Voevodsky’s algebraic cobordism to Quillen’s \(K\)-theory”. In: Invent. Math. 175.2 (2009), pp. 435–451. arXiv: 0709.4124. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0155-5.

[PS]

Ivan Panin and Alexander Smirnov. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. K-theory Preprint Archive 459. url: http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/.

[Qui]

Gereon Quick. Profinite Étale Cobordism. arXiv: math/0506332.

[Spi20]

Markus Spitzweck. “Algebraic cobordism in mixed characteristic”. In: Homology Homotopy Appl. 22.2 (2020), pp. 91–103. arXiv: 1404.2542. url: https://doi.org/10.4310/hha.2020.v22.n2.a5.

[Zai10]

K. Zainoulline. “Degree formula for connective \(K\)-theory”. In: Invent. Math. 179.3 (2010), pp. 507–522. arXiv: 0808.2592. url: https://doi.org/10.1007/s00222-009-0221-7.