3次元多様体の不変量

基本的な代数的トポロジーの知識で定義できる3次元多様体の不変量として, まず基本群がある。

• 基本群と幾何学的構造

V. Jones と Witten の登場以来, 低次元トポロジーは大きく様変りした。Witten による \(3\)次元多様体の不変量とその元になる topological quantum field theory については, Kevin Walker による未出版の解説 “On Witten’s \(3\)-manifold invariants” (Walker の website から download できる) がある。

• \(3\)次元の TQFT
• Chern-Simons invariant
• Turaev-Viro invariant
• Reshetikhin-Turaev invariant
• Dijkgraaf-Witten invariant
• LMO invariant
• Casson invariant

Chaptea と Habiro と Massuyeau は, [CHM] で LMO invariant を, Lagrangian cobordism category から非負整数を object とし, ある種の Jacobi diagram を morphism とする category への functor として拡張している。

Hyperbolic \(3\)-manifold に対しては, その体積も位相不変量になる。Culler と Shalen [CS; ACS10] は ホモロジー群などの古典的な位相不変量との関係を調べていて, 興味深い。

References

[ACS10]

Ian Agol, Marc Culler, and Peter B. Shalen. “Singular surfaces, mod 2 homology, and hyperbolic volume. I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.7 (2010), pp. 3463–3498. arXiv: math/0506396. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-04362-X.

[CHM]

Dorin Cheptea, Kazuo Habiro, and Gwenael Massuyeau. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms. arXiv: math/0701277.

[CS]

Marc Culler and Peter B. Shalen. Singular surfaces, mod 2 homology, and hyperbolic volume, II. arXiv: math/0701666.