曲面の mapping class group

曲面の mapping class group, 特に Riemann 面の mapping class group は, 様々な分野に関係があるのでよく調べられている。

まず, mapping class group の前に diffeomorphism group については, Earle と Eells [EE69] や Gramain [Gra73] により, 種数2以上の orientable surface の場合は, 連結成分が可縮であることが証明されている。

Mapping class group について, 最初に読むにはどの文献が良いのだろうか。 とりあえず Birman の本 [Bir74] だろうか。 Riemann 面の moduli空間との関係をまとめた survey として, Hain と Looijenga の [HL97] がある。 Teichmüller 空間との関係については, Mosher の survey [Mos] がある。 また, Ivanov が [Iva] で mapping class group についての15の問題を提起している。

• genusが \(g\) で \(k\)個の \(S^1\) を境界にもつ Riemann面の mapping class group \(\Gamma _{g,k}\)
• 二つ穴のあいた torus を貼り付ける写像 \[ \Gamma _{g,k} \longrightarrow \Gamma _{g+1,k} \]
• ズボンをどれかの boundary component に貼り付ける写像 \[ \Gamma _{g,k} \longrightarrow \Gamma _{g,k+1} \]

\(\Gamma _{g,1}\) で \(g\rightarrow \infty \) とすると, いわゆる stable mapping class group \[ \Gamma _{\infty } = \colim _{g} \Gamma _{g,1} \] を得る。この群の分類空間に plus construction を行なうと無限ループ空間ができることは, Tillmann が証明した。

• \(B\Gamma _{\infty }^+\) が無限ループ空間になること [Til97; Til00]
• Tillmann が発見した \(B\Gamma _{\infty }^+\) 上の2種類の infinite loop structure が一致すること [Wah04]
• \(\Gamma _{\infty }\) から自由群の stable automorphism group \(\mathrm{Aut}_{\infty }\) への間の自然な写像 \[ \Gamma _{\infty } \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\infty } \] が無限ループ空間の写像 \[ B\Gamma _{\infty }^+ \longrightarrow B\mathrm{Aut}_{\infty }^+ \] を誘導すること [Waha]
• \(\Z \times B\Gamma _{\infty }^{+}\) が \(\CP ^{\infty }\) 上のある Thom spectrum に associate した infinite loop space であること (Madsen と Weiss の [MW07])

Madsen と Weiss の結果は, 有名なMumford予想の証明になっている。

• Mumford conjecture

Mapping class group の元に対し, canonical にそれを代表する同相あるいは微分同相写像を作ることができるかという問題については, Markovic とSaric の [MS] を見るとよい。同相群から mapping class group への projection の準同型による section は genus \(\ge 2\) の場合には存在しないことが示されている。

もちろん, 群論的な構造もよく調べられている。Masbaum と Reid の [MR] によると, どの genus の mapping class group も任意の有限群を subquotient に持つようである。また同じ結果は独立に Funar によっても示されたらしい。

向き付け可能な曲面に対しては, その mapping class group の構造は詳しく調べられてきたが, 向き付け不可能な曲面の mapping class group については, あまり知られていないようである。 Ivanov のリスト [Iva] でも 10番目に挙げられている。Non-expert 向けに書かれたものとして, Paris の [Par] がある。

最近は少しづつ研究が進んでいるようで, Wahl が [Wahb] で stable homology を調べている。Wahl の結果の marked point 付きの場合は, [Han] で Hanbury により調べられている。Outer automorphism group は Atalan [Ata10] が調べている。 境界の連結成分が高々1個の場合については, Paris と Szepietowski [PS] が表示を求めている。

Metrizable でない曲面の mapping class groupを調べている人 [Gau] もいる。

Funar ら [FK04; FK08; FK11; FKS] は, infinite type の曲面の mapping class group を調べている。 Richard Thompson の群と関係があるようである。

Projective surface の birational transformation の成す群と Riemann面の mapping class group の類似を考えているのは, Blanc と Cantat の [BC] であり, 二つの間の辞書を作ろうとしている。

References

[Ata10]

Ferihe Atalan. “Outer automorphisms of mapping class groups of nonorientable surfaces”. In: Internat. J. Algebra Comput. 20.3 (2010), pp. 437–456. arXiv: 0904.3129. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218196710005716.

[BC]

Jérémy Blanc and Serge Cantat. Dynamical degrees of birational transformations of projective surfaces. arXiv: 1307.0361.

[Bir74]

Joan S. Birman. Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1974, pp. ix+228.

[EE69]

Clifford J. Earle and James Eells. “A fibre bundle description of Teichmüller theory”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 19–43.

[FK04]

L. Funar and C. Kapoudjian. “On a universal mapping class group of genus zero”. In: Geom. Funct. Anal. 14.5 (2004), pp. 965–1012. arXiv: math/0210007. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-004-0480-9.

[FK08]

Louis Funar and Christophe Kapoudjian. “The braided Ptolemy-Thompson group is finitely presented”. In: Geom. Topol. 12.1 (2008), pp. 475–530. arXiv: math/0506397. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.475.

[FK11]

Louis Funar and Christophe Kapoudjian. “The braided Ptolemy-Thompson group is asynchronously combable”. In: Comment. Math. Helv. 86.3 (2011), pp. 707–768. arXiv: math/0602490. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/239.

[FKS]

Louis Funar, Christophe Kapoudjian, and Vlad Sergiescu. Asymptotically rigid mapping class groups and Thompson’s groups. arXiv: 1105.0559.

[Gau]

David Gauld. Homeomorphisms of Bagpipes. arXiv: 0910.0924.

[Gra73]

André Gramain. “Le type d’homotopie du groupe des difféomorphismes d’une surface compacte”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 6 (1973), pp. 53–66.

[Han]

Elizabeth Hanbury. Homological stability of non-orientable mapping class groups with marked points. arXiv: 0806.1082.

[HL97]

Richard Hain and Eduard Looijenga. “Mapping class groups and moduli spaces of curves”. In: Algebraic geometry—Santa Cruz 1995. Vol. 62. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997, pp. 97–142. arXiv: alg-geom/9607004.

[Iva]

Nikolai V. Ivanov. Fifteen problems about the mapping class groups. arXiv: math/0608325.

[Mos]

Lee Mosher. Geometric survey of subgroups of mapping class groups. arXiv: math/0702428.

[MR]

Gregor Masbaum and Alan W. Reid. All finite groups are involved in the Mapping Class Group. arXiv: 1106.4261.

[MS]

Vladimir Markovic and Dragomir Saric. The mapping class group cannot be realized by homeomorphisms. arXiv: 0807.0182.

[MW07]

Ib Madsen and Michael Weiss. “The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford’s conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 165.3 (2007), pp. 843–941. arXiv: math/0212321. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.165.843.

[Par]

Luis Paris. Mapping class groups of non-orientable surfaces for beginners. arXiv: 1410.1123.

[PS]

Luis Paris and Blazej Szepietowski. A presentation for the mapping class group of a nonorientable surface. arXiv: 1308.5856.

[Til00]

Ulrike Tillmann. “Higher genus surface operad detects infinite loop spaces”. In: Math. Ann. 317.3 (2000), pp. 613–628. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004416.

[Til97]

Ulrike Tillmann. “On the homotopy of the stable mapping class group”. In: Invent. Math. 130.2 (1997), pp. 257–275. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050184.

[Waha]

Nathalie Wahl. From mapping class groups to automorphism groups of free groups. arXiv: math/0406278.

[Wahb]

Nathalie Wahl. Homological stability for the mapping class groups of non-orientable surfaces. arXiv: math.GT/0601310.

[Wah04]

Nathalie Wahl. “Infinite loop space structure(s) on the stable mapping class group”. In: Topology 43.2 (2004), pp. 343–368. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00045-4.