Bar-joint Frameworks and Tensegrities

Bar-joint framework とは, 簡単に言うと, 辺が線分になるように Euclid 空間に埋め込まれた graph のことである。 その rigidity が古くから調べられている。Laman の [Lam70] など。

組み合せ論的構造は, Graver [Gra91] により導入された rigidity matroid という matroid で抽出できるようである。 Develin, Martin, Reiner [DMR07] は, bar-joint framework の combinatorial rigidity については, [GSS93], [Whi96], [Whi97] などを参照している。 Delucchi と Lindeman [DL16] は, 具体的な bar-joint framework から得られる rigidity matroid を抽象化した abstract rigidity matroid を定義し, 調べている。

• rigidity matroid
• abstract rigidity matroid

Tanigawa の [Tan12] では, 変種として body-bar framework, body-hinge framework なども挙げられている。Thurston ら [Gor+13] は hypergraph 版を考えている。

高次元版としては, 各面が凸多面体として Euclid 空間に埋め込まれた polyhedral complex で, 合同変換以外に変形する方法があるようなものも考えられる。Gaifullin [Gai18] は, そのようなものを flexible polyhedron と呼んでいる。

• flexible polyhedron

Galashin と Panina [GP16] は quasilinkage という一般化を導入して調べている。

非ユークリッド空間の場合については, Kitson と Power の [KP14] などがある。

Karpenkov と Mueller の [KM21] は, 各辺に tension と呼ばれる実数が割り当てられた simple graph で, tension が全体として平衡状態にあるものを tensegrity と定義している。

• tensegrity

Harish, Deshpande, Andress [HDA] によると, tensegrity の研究は, 1960年代の Buckminster Fuller の仕事に起源があるようである。 そこでは Buckminster Fuller や Emmerich や Snelson の特許が挙げられている。 文献としては, Snelson の [Sne73] を挙げるべきだろうか。

Doray と Karpenkov と Schepers の [DKS10] では, tensegrity の成す configuration space が調べられている。

References

[DKS10]

Franck Doray, Oleg Karpenkov, and Jan Schepers. “Geometry of configuration spaces of tensegrities”. In: Discrete Comput. Geom. 43.2 (2010), pp. 436–466. arXiv: 0806 . 4976. url: https://doi.org/10.1007/s00454-009-9229-4.

[DL16]

Emanuele Delucchi and Tim Lindemann. “Cryptomorphisms for abstract rigidity matroids”. In: Configuration spaces. Vol. 14. Springer INdAM Ser. Springer, [Cham], 2016, pp. 195–211. arXiv: 1503.03795.

[DMR07]

Mike Develin, Jeremy L. Martin, and Victor Reiner. “Rigidity theory for matroids”. In: Comment. Math. Helv. 82.1 (2007), pp. 197–233. arXiv: math/0503050. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/89.

[Gai18]

Alexander A. Gaifullin. “Flexible polyhedra and their volumes”. In: European Congress of Mathematics. European Mathematical Society (EMS), 2018, pp. 63–83. arXiv: 1605.09316.

[Gor+13]

Steven J. Gortler, Craig Gotsman, Ligang Liu, and Dylan P. Thurston. “On affine rigidity”. In: J. Comput. Geom. 4.1 (2013), pp. 160–181. arXiv: 1011.5553. url: https://doi.org/10.20382/jocg.v4i1a7.

[GP16]

Pavel Galashin and Gaiane Panina. “Manifolds associated to simple games”. In: J. Knot Theory Ramifications 25.12 (2016), pp. 1642003, 14. arXiv: 1311.6966. url: https://doi.org/10.1142/S0218216516420037.

[Gra91]

Jack E. Graver. “Rigidity matroids”. In: SIAM J. Discrete Math. 4.3 (1991), pp. 355–368. url: http://dx.doi.org/10.1137/0404032.

[GSS93]

Jack Graver, Brigitte Servatius, and Herman Servatius. Combinatorial rigidity. Vol. 2. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993, pp. x+172. isbn: 0-8218-3801-6. url: https://doi.org/10.1090/gsm/002.

[HDA]

Ajay Bangalore Harish, Shubham Deshpande, and Stephanie Rachel Andress. Mathematics of Stable Tensegrity Structures. arXiv: 2101. 09616.

[KM21]

Oleg Karpenkov and Christian Mueller. “Geometric criteria for realizability of tensegrities in higher dimensions”. In: SIAM J. Discrete Math. 35.2 (2021), pp. 637–660. arXiv: 1907.02830. url: https://doi.org/10.1137/19M1281903.

[KP14]

D. Kitson and S. C. Power. “Infinitesimal rigidity for non-Euclidean bar-joint frameworks”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 46 (2014), pp. 685–697. arXiv: 1304.3385. url: https://doi.org/10.1112/blms/bdu017.

[Lam70]

G. Laman. “On graphs and rigidity of plane skeletal structures”. In: J. Engrg. Math. 4 (1970), pp. 331–340.

[Sne73]

Keith Snelson. “Tensegrity masts”. In: Shelter, Bolinas, CA (1973).

[Tan12]

Shin-ichi Tanigawa. “Generic rigidity matroids with Dilworth truncations”. In: SIAM J. Discrete Math. 26 (2012), pp. 1412–1439. arXiv: 1010.5699. url: https://doi.org/10.1137/100819473.

[Whi96]

Walter Whiteley. “Some matroids from discrete applied geometry”. In: Matroid theory (Seattle, WA, 1995). Vol. 197. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, pp. 171–311. url: https://doi.org/10.1090/conm/197/02540.

[Whi97]

Walter Whiteley. “Rigidity and scene analysis”. In: Handbook of discrete and computational geometry. CRC Press Ser. Discrete Math. Appl. CRC, Boca Raton, FL, 1997, pp. 893–916.