位相空間のK理論

位相空間の\(K\)理論Grothendieck の代数幾何学におけるアイデアをトポロジーに移植することにより誕生した。 それを行なったのはAtiyahとHirzebruch [AH59; AH61]である。

Grothendieckによる元のアイデアと\(K\)理論の起源については, Dieudonnéの本[Die89]のPart \(3\) Chapter VII §3が良くま とまっていて読み易いと思う。また, Atiyahの“\(K\)-theory Past and Present”[Ati01]には, 当事者によるその当時の回想がある。 Karoubiの[Kar]も見るとよい。

Grothendieckの元々のmotivationを知るためには, Riemann-Rochの定理を勉強す るとよいかもしれない。代数多様体Riemann面を良く知らない人には, Adamsの Student’s Guide [Ada72]に含まれているDyerによる解説 (p. 189) がある。積を持つ一般コホモロジーの間の自然変換とpush-forward homomorphismの関係としてRiemann-Rochを述べてある。それを理解してから古 典的なRiemann-Rochを見てみるとよい。

より幾何学的 (物理学的?) な応用に対しては Atiyah-Singerの指数定理との関係が重要な役割 を果す。ただ, 最近はD-braneのように, topological \(K\)-theoryの元そのものが現れる場面もでてきた。Szabo [RSV09]らによると, 数学的にはD-braneとはBaum-Douglasの \(K\)-homologyの元そのもののようである。

References

[Ada72]

John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London: Cambridge University Press, 1972, p. vi 300.

[AH59]

M. F. Atiyah and F. Hirzebruch. “Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1959), pp. 276–281.

[AH61]

M. F. Atiyah and F. Hirzebruch. “Vector bundles and homogeneous spaces”. In: Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1961, pp. 7–38.

[Ati01]

Michael Atiyah. “\(K\)-theory past and present”. In: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Berlin: Berliner Math. Gesellschaft, 2001, pp. 411–417. arXiv: math/0012213.

[Die89]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology. 1900–1960. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1989, pp. xxii+648. isbn: 0-8176-3388-X.

[Kar]

Max Karoubi. \(K\)-theory. An elementary introduction. arXiv: math/0602082.

[RSV09]

Rui M. G. Reis, Richard J. Szabo, and Alessandro Valentino. “KO-homology and type I string theory”. In: Rev. Math. Phys. 21.9 (2009), pp. 1091–1143. arXiv: hep-th/0610177. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X09003839.