Symmetric monoidal category になる spectrum のモデル

Lima [Lim58; Lim59] により spectrum の概念が導入されて以降, その圏を symmetric monoidal category として構成することは, 長年の課題だった。 Boardman により, smash product も含めた (古典的な) spectrum の stable homotopy category は構成されたが, ホモトピー圏まで落さないと, symmetric monoidal category にならないものだった。 Boardman の安定ホモトピー圏については、 Vogt の note [Vog70] がある。 Adams は, [Ada74] の part III で Boardman の圏と同値な圏で “category theory の専門知識なしに理解可能”なものを構成している。

最初に, symmetric monoidal category として構成することに成功したのは, Elmendorf と Kriz と Mandell と May (EKMM) の [Elm+97] だった。

• EKMM spectrum or \(S\)-module

EKMM の spectrum と同じことを目指したもう一つの approach は, Hovey と Shipley と Jeff Smith [HSS00] による, 対称群の作用を用いた symmetric spectrum である。また orthogonal spectrum という Mandell と May による EKMM spectrum と symmetric spectrum のいいとこ取りをしたものもある。

• symmetric spectrum
• orthogonal spectrum

この3つの現代的なスペクトラムについては, Greenlees の [Gre07] の §4 に簡潔にまとめられているので, まずはそれを見るのが良いかもしれない。

これらどのアプローチをとっても, できた monoidal model category は, Quillen equivalence の zigzag により結ばれる [SS02; Shi01] ことが知られている。

他にも Lydakis による \(\Gamma \)-space を用いたもの [Lyd99] もある。 Connective spectrum に限定されるが。 Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] の Chapter II に詳しく書かれている。

古典的なスペクトラムの圏と比べ, このような近代的な spectrum の圏の最大の長所は, (ホモトピー圏まで落さなくても) smash product が定義できること, つまり symmetric monoidal category を成すことである。よって, monoid object や commutative monoid objectとして, 「環」や「可換環」の類似が定義できる。

• ring spectrum

よって, これらの spectrum の圏では, 様々な代数的構成の類似が行なえる。

• スペクトラムの圏での代数的な構成

このように, spectrum は元々は幾何学的な構成に基いた概念だったが, そのホモトピー圏が, (tensor) triangulated category を成すことからも分かるように, ホモロジー代数を一般化する場としても用いることができるようになった。 現代的には, そのような視点からは stable model category や stable \((\infty ,1)\)-category の一つとして取り扱うべきだろう。

• stable model category
• stable (∞,1)-category

この model category の視点からは, spectrum の定義は, pointed model category から stable model category を作る操作として定義されるべきだろう。 そのような提案として, Hoveyの [Hov01] がある。 これは, 古典的な spectrum の定義を model category で真似したものであり, \(\N \) あるいは \(\Z \) で添字付けられた基点付きの対象の列で代表される。 Harpaz, Nuiten, Prasma [HNPa; HNPb] は, Heller のアプローチ [Hel97] に基づいた \(\N \times \N \) で添字付けられたものを使うことを提案している。

• 一般のモデル圏上の古典的スペクトラムの圏
• monoidal model category 上の symmetric spectrum の圏

応用としては, Voevodsky の motivic homotopy theory で使われる圏などがある。Panin らの [PPR09] の Appendix に簡潔にまとめられている。

Lurie は “Higher Algebra” [Lur] の中で, \((\infty ,1)\)-category の spectrum object を pointed finite space の成す \((\infty ,1)\)-category からその \((\infty ,1)\)-category への “reduced excisive functor” として定義している。この視点は, Goodwillie calculus により spectrum と linear functor を同一視できるという事実に基づいている。

• \((\infty ,1)\)-category の spectrum object

他にも spectrum の圏の構成には, いくつかのアプローチがある。Mark Johnson [Joh01] は, spectrum を topological category 上の presheaf とみなすという試みを行なっている。 Lydakis は, 上記のものの他に simplicial functor を用いたものを考えている。 その preprint は, Bielefeld大学 のpreprint server の1998年のところから入手できる。 その一般化が, Dundas と Röndigs と Østvær [DRØ03] や Biedermann [Bie] によって考えられている。 他の変な spectrum の定義としては, Hüttemann と Röding の [HR] がある。そこでは twisted functor の例として挙げてある。

References

[Ada74]

J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1974, p. x 373.

[Bie]

Georg Biedermann. L-stable functors. arXiv: 0704.2576.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DRØ03]

Bjørn Ian Dundas, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. “Enriched functors and stable homotopy theory”. In: Doc. Math. 8 (2003), 409–488 (electronic).

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[Gre07]

J. P. C. Greenlees. “Spectra for commutative algebraists”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 149–173. arXiv: math/ 0609452. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08408.

[Hel97]

Alex Heller. “Stable homotopy theories and stabilization”. In: J. Pure Appl. Algebra 115.2 (1997), pp. 113–130. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(96)00116-8.

[HNPa]

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, and Matan Prasma. Tangent categories of algebras over operads. arXiv: 1612.02607.

[HNPb]

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, and Matan Prasma. The tangent bundle of a model category. arXiv: 1802.08031.

[Hov01]

Mark Hovey. “Spectra and symmetric spectra in general model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 165.1 (2001), pp. 63–127. arXiv: math/0004051. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00172-9.

[HR]

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[HSS00]

Mark Hovey, Brooke Shipley, and Jeff Smith. “Symmetric spectra”. In: J. Amer. Math. Soc. 13.1 (2000), pp. 149–208. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-99-00320-3.

[Joh01]

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[Lim58]

Elon Lages Lima. DUALITY AND POSTNIKOV INVARIANTS. Thesis (Ph.D.)–The University of Chicago. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1958, (no paging).

[Lim59]

Elon L. Lima. “The Spanier-Whitehead duality in new homotopy categories”. In: Summa Brasil. Math. 4 (1959), 91–148 (1959).

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Lyd99]

Manos Lydakis. “Smash products and \(\Gamma \)-spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.2 (1999), pp. 311–328. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003260.

[PPR09]

Ivan Panin, Konstantin Pimenov, and Oliver Röndigs. “On Voevodsky’s algebraic \(K\)-theory spectrum”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 279–330. arXiv: 0709.3905. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_10.

[Shi01]

Brooke Shipley. “Monoidal uniqueness of stable homotopy theory”. In: Adv. Math. 160.2 (2001), pp. 217–240. arXiv: math/0012022. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.1988.

[SS02]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “A uniqueness theorem for stable homotopy theory”. In: Math. Z. 239.4 (2002), pp. 803–828. arXiv: math/0012021. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002090100347.

[Vog70]

Rainer Vogt. Boardman’s stable homotopy category. Lecture Notes Series, No. 21. Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, 1970, pp. i+246.