Lima [Lim58; Lim59] により spectrum の概念が導入されて以降, その圏を symmetric monoidal
category として構成することは, 長年の課題だった。 Boardman により, smash product も含めた (古典的な)
spectrum の stable homotopy category は構成されたが, ホモトピー圏まで落さないと, symmetric monoidal
category にならないものだった。 Boardman の安定ホモトピー圏については、 Vogt の note [Vog70]
がある。 Adams は, [Ada74] の part III で Boardman の圏と同値な圏で “category theory
の専門知識なしに理解可能”なものを構成している。
最初に, symmetric monoidal category として構成することに成功したのは, Elmendorf と Kriz と
Mandell と May (EKMM) の [Elm+97] だった。
EKMM の spectrum と同じことを目指したもう一つの approach は, Hovey と Shipley と Jeff
Smith [HSS00] による, 対称群の作用を用いた symmetric spectrum である。また orthogonal
spectrum という Mandell と May による EKMM spectrum と symmetric spectrum
のいいとこ取りをしたものもある。
この3つの現代的なスペクトラムについては, Greenlees の [Gre07] の §4 に簡潔にまとめられているので,
まずはそれを見るのが良いかもしれない。
これらどのアプローチをとっても, できた monoidal model category は, Quillen equivalence の zigzag
により結ばれる [SS02; Shi01] ことが知られている。
他にも Lydakis による \(\Gamma \)-space を用いたもの [Lyd99] もある。 Connective spectrum に限定されるが。
Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] の Chapter II に詳しく書かれている。
古典的なスペクトラムの圏と比べ, このような近代的な spectrum の圏の最大の長所は, (ホモトピー圏まで落さなくても) smash
product が定義できること, つまり symmetric monoidal category を成すことである。よって, monoid object
や commutative monoid objectとして, 「環」や「可換環」の類似が定義できる。
よって, これらの spectrum の圏では, 様々な代数的構成の類似が行なえる。
このように, spectrum は元々は幾何学的な構成に基いた概念だったが, そのホモトピー圏が, (tensor) triangulated
category を成すことからも分かるように, ホモロジー代数を一般化する場としても用いることができるようになった。 現代的には,
そのような視点からは stable model category や stable \((\infty ,1)\)-category の一つとして取り扱うべきだろう。
この model category の視点からは, spectrum の定義は, pointed model category から stable
model category を作る操作として定義されるべきだろう。 そのような提案として, Hoveyの [Hov01] がある。 これは, 古典的な
spectrum の定義を model category で真似したものであり, \(\N \) あるいは \(\Z \) で添字付けられた基点付きの対象の列で代表される。
Harpaz, Nuiten, Prasma [HNPa; HNPb] は, Heller のアプローチ [Hel97] に基づいた \(\N \times \N \)
で添字付けられたものを使うことを提案している。
応用としては, Voevodsky の motivic homotopy theory で使われる圏などがある。Panin らの [PPR09]
の Appendix に簡潔にまとめられている。
Lurie は “Higher Algebra” [Lur] の中で, \((\infty ,1)\)-category の spectrum object を pointed finite
space の成す \((\infty ,1)\)-category からその \((\infty ,1)\)-category への “reduced excisive functor” として定義している。この視点は,
Goodwillie calculus により spectrum と linear functor を同一視できるという事実に基づいている。
- \((\infty ,1)\)-category の spectrum object
他にも spectrum の圏の構成には, いくつかのアプローチがある。Mark Johnson [Joh01] は, spectrum を
topological category 上の presheaf とみなすという試みを行なっている。 Lydakis は, 上記のものの他に
simplicial functor を用いたものを考えている。 その preprint は, Bielefeld大学 のpreprint server
の1998年のところから入手できる。 その一般化が, Dundas と Röndigs と Østvær [DRØ03] や Biedermann
[Bie] によって考えられている。 他の変な spectrum の定義としては, Hüttemann と Röding の [HR] がある。そこでは
twisted functor の例として挙げてある。
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