Stack

Stack とは, 一言で言うと “sheaf of categories (groupoids)” のことである。簡単な解説として, Gel\('\)fand と MacPherson と Vilonen の [GMV] の Appendix がある。 その Appendix の目標は, sheaf を扱うのと同じぐらい楽に stack を扱うことができると読者に納得させることにある。詳しいことは Giraud の本 [Gir71] を見るように書いてある。 他に, Grothendieck topology を持つ category (site) 上の stack について簡潔にまとめられたものとして, Kashiwara と Schapira の [KS06] の最後の章がある。

Sheaf が presheaf で貼り合せの条件を満たすものとして定義されるように, stack も prestack である条件を満たすものとして定義される。

  • prestack

Presheaf は単なる contravariant functor だから, prestack も category の category への contravariant functor として定義したいところであるが, category の category は 2-category の構造を持つので, 少々面倒である。 Lax functor として定義しないといけない。

Higher stack についての最近の話題をまとめた Toën の [Toë09] では, (\(1\)-)stack の文献として Laumon と Moret-Bailly の [LM00] が挙げてある。 Stable curve の moduli stack の homology を調べている Ebert と Giansiracusa の [EG] では, 他に Noohi の [Noo] と Heinloth の [Hei05] が挙げられている。 Heinloth の書いたものとしては, web から download できるもの [Hei] もある。 Fantechi の “Stacks for Everybody” [Fan01] という簡潔にまとめられた解説もある。

現在, stack の解説として, もっとも up to date なのは de Jong の The Stacks Project だろう。Web 上の解説なので, どんどん更新されているのがよい。 また, stack 以外に, scheme など関連した様々なことがまとめられているので, 便利である。

最近では, 数理物理でも頻繁に現われるようになったが, physisist 向けのものとして Sharpe の [Sha] がある。そこに挙げられている文献も見るとよい。Vistoli の [Vis89] や Gomez の [Gom] など。

Stack が代数的トポロジーに登場したのは, 比較的最近のことである。Stack には様々な定義があるが, Hollander の preprint [Hol08] によると, それらはホモトピー論的には同値, つまりそれぞれの定義による stack の model category は Quillen 同値になる, らしい。 Hollander の提案している定義は、 homotopy limit を用いている点で, 代数的トポロジーを専門としている者にとっては分かり易い。 またその定義は非常に簡潔である。更に Hollander は [Hol07] で stack 上の sheaf もホモトピー論的に定義できると言っている。

Hollander のものは, groupoid に値を持つ (fiber が groupoid である) stack であ るが, 一般の small category に値を持つものについては Stanculescu [Sta] が考えている。

他にトポロジーでの stack について考察したものとしては, Metzler の [Met] や Noohi の [Noo] がある。Noohi のものは, トポロジーでの stack の基礎付けを目指している, らしい。 まず, [Noo12] では, topological stack の分類空間が定義されている。 そして, [Noo14] では, topological stack の fibration について考察し, homotopy fiber sequence や Eilenberg-Moore spectral sequence など, 通常の位相空間のホモトピー論と類似のことができることを示している。Coyne との共著 [CN16] では, singular simplicial set functor の topological stack への拡張を定義している。

  • topological stack

Carchedi は [Car12] で, topological stack の convenient category, つまり compactly generated stack の \(2\)-category を構築している。また[Car] では, topological および differentiable stack 上の stack の成す \(2\)-category を考えている。

  • stack上 の sheaf
  • stack上 の stack

Topological stack の応用としては, Bunke と Schick による \(T\)-duality についての考察がある。 彼等は [BS05] で行なったことを, [BS06] で topological stack の言葉を用いて orbispace に一般化している。

Topological groupoid (orbifold, orbispace) に対しては, inertia groupoid が重要であるが, Bunke と Schick と Spitzweck は [BSS08] でその stack 版を考えている。

  • inertia stack

微分幾何では, differentiable stack を考える。更にétale proper なものを Deligne-Mumford stack と呼ぶようである。それらの対称性を考えるためには stacky Lie group [Blo] を用いるのが良いのだろうか。

  • differentiable stack
  • Deligne-Mumford stack
  • stacky Lie group

Hepworth は, differentiable stack に対し [Hep] で tangent bundle や vector field の類似を定義している。目指しているのは differentiable stack の Morse theory らしいが。Lerman と Malkin [LM] は, Deligne-Mumford stack 上の微分幾何と symplectic geometry を考えている。

Berwick-Evans と Lerman [BL] は, stack 上の vector fields の成す category は, Lie \(2\)-algebra になることを示している。

代数幾何では, まず moduli の問題に使われる。他にも, [TV05; TV; TV08] などで derived algebraic geometry の基礎として用いられている。Ebert と Giansiracusa は [EG] で stable curve の moduli stack のホモロジーを調べているが, そこでは Pontrjagin-Thom construction の拡張が定義されている。Free loop space など構成の類似 [BN] も考えられている。

群作用については, この MathOverflow の質問に対する回答では, Romagny の [Rom05] を見るように書いてある。ArXiv には [Rom] という解説(?) もある。

Stack に対し cohomology などの位相不変量を定義するという試みもある。例えば, Tu と Xu と Laurent-Gengoux の [TXL04] では、 differentiable stack の twisted \(K\)-theory が定義されている。これは orbifold の twisted \(K\)-theory を含む構成である。

Stack は, (lax) sheaf of categories (groupoids) であるが, stratified space の上では, constructible sheaf の stack 版として Dupont の [Dup] で constructible stack が定義されている。

  • constructible stack

また, small categorygroupoid の代りに高次の small category や groupoid を使えば higher stack の概念が定義できる。 Toën の [Toë09] によると, algebraic \(n\)-stack は Simpson の [Sim] で定義され, derived scheme や derived \(n\)-stack の概念が Toën と Vezzosi ら [TV04; TV08] により導入された。Lurie による approach [Lura; Lurb; Lurc] もある。

  • derived stack

Derived stack について短かくまとめたものとしては, Ben-Zvi と Nadler の [BN] の appendix がある。 Vezzosi の AMS Notices での“What is\(\ldots \)” [Vez11] もある。

Sheaf の covariant 版として cosheaf があるが, stack の covariant 版の costack は, 例えば Pirashvili の [Pir] などで登場する。

  • costack

References

[BL]

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[Blo]

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[BS05]

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[BS06]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “\(T\)-duality for non-free circle actions”. In: Analysis, geometry and topology of elliptic operators. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 429–466. arXiv: math/0508550.

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