可微分多様体

非可換幾何学, あるいは Gel’fand-Naimark duality の観点からは, 多様体の構造はその上の関数環に反映されるはずであ る。

  • \(\F =\R \) または \(\bbC \) としたときの, 可微分多様体 \(M\) の \(\F \) に値を持つ可微分関数の成す環 \(C^{\infty }(M)\)
  • その compact support を持つ関数の成す部分環 \(C_c^{\infty }(M)\)

実際, Mrcum は, [Mrč05] で次のことを証明している。

  • \(C^{\infty }(M)\) と \(C^{\infty }(N)\) の間の同型は, 一意的に決まる微分同相写像 \(M \cong N\) により誘導される。
  • Compact support を持つ関数の成す環についても同様のことが成り立つ。

幾何学的構造を記述するためには, まず接束という vector bundle が定義できるということが基本的である。

  • 可微分多様体の間の可微分写像
  • 可微分多様体の接束 (tangent bundle)
  • 可微分多様体の余接束(cotangent bundle)
  • 可微分多様体の埋め込みに対し, その法 束 (normal bundle)
  • 可微分多様体上のベクトル場 (vector field)
  • 可微分多様体の微分形式 (differential form)
  • 可微分多様体の current

Novikov の [Nov08] によると, 微分形式の理論は Poincaré の発見に起源を持つらしい。 Terence Tao が “Princeton Companion to Mathematics” のために書いた 解説は, \(1\)変数関数の積分から書いてあり, 非常に分かりやすい。 微分形式の解説は他にも色々あるが, Bachman の本 [Bac06] は arXiv から download できる。

Tangent bundle と cotangent bundle を組にして考えると, Courant algebroid という構造を得る。この意味での extended manifold を考えたのが, Hu と Uribe の [HU] である。

可微分多様体の入門として有名な Milnorの本 [Mil97] では, framed cobordismにも触れられている。つまり framed manifold のコボルディズムである。

  • framed manifold

可微分多様体のコホモロジーを考えるときには, 微分形式との関連が基本的である。

Connection や curvature も微分形式で表わすものの代表である。より一般に, 可微分多様体と smooth map から成る fiber bundle (smooth fiber bundle) を考え, connection や jet などの概念を考えることができる。

References

[Bac06]

David Bachman. A geometric approach to differential forms. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2006, pp. xviii+133. isbn: 978-0-8176-4499-4; 0-8176-4499-7. arXiv: math/0306194.

[HU]

Shengda Hu and Bernardo Uribe. Extended manifolds and extended equivariant cohomology. arXiv: math/0608319.

[Mil97]

John W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton Landmarks in Mathematics. Based on notes by David W. Weaver, Revised reprint of the 1965 original. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997, pp. xii+64. isbn: 0-691-04833-9.

[Mrč05]

Janez Mrčun. “On isomorphisms of algebras of smooth functions”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 133.10 (2005), 3109–3113 (electronic). arXiv: math/0309179. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07979-7.

[Nov08]

S. P. Novikov. “Dynamical systems and differential forms. Low dimensional Hamiltonian systems”. In: Geometric and probabilistic structures in dynamics. Vol. 469. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008, pp. 271–287. arXiv: math/0701461.