圏\(\mathcal {C}\)の二つのobject \(X\)と\(Y\)に対しては, その“積”\(X\otimes Y\) が定義されることが多い。集合の圏では, 圏論的な意味での productであるが,
Abel群の圏ではtensor productである。そのような“tensor product”を持つ 圏をmonoidal
categoryという。更にその積が“交換可能”な場合, symmetric monoidal categoryと呼ぶ。Abelian category
になっている場合はtensor category と呼ぶことが多いようである。Mac Laneの本 [Mac98] でも扱われているので,
まずはこれを見てみるとよいかもしれない。他にも, 量子群の表現などについて書かれた文献には基本的なことがまとめられていることが多い。例えば,
Calaque と Etingof の lecture note [CE08] とか, Kassel の本 [Kas95] とか。
最近の解説としては, Street の [Str] がある。
Monoidal category の中での様子は「図示」できる。いわゆる string diagram という図があるが, これは
JoyalとStreet [JS91] が導入したものだろうか。
代数的トポロジーで扱う「大きい」圏は, symmetric monoidal category になっていることが多い。また代数的トポロジーの様々な概念が一般の
symmetric monoidal category で定義できることも多い。例えば operad などである。
Monoidal structure は, small category に対しても重要な概念である。Small monoidal category
から分類空間を取り, group completion を取ることにより, 各種ループ空間を作ることができるからである。 結合性, 可換性, unit を
strict にした permutative category からも無限ループ空間を作ることができる。
Category theoryでは, 例えば, enriched category を定義するために必要になる。
自分自身で enrichされた圏をclosed monoidal categoryという。より正確には, 各object \(x\) に対し \((-)\otimes x:\bm {V}\to \bm {V}\) が right
adjoint \(\Hom (x,-)\) (internal-hom functor) を 持つ monoidal category \(\bm {V}\) のことである。
代数的な構造の表現の成す圏は, monoidal structureを持つことが多い。更に, そのような monoidal category は
braiding や dual を取る操作を持つことが多い。
また, そのような monoidal category は symmetric monoidal category で enrich
されていることも多い。 不思議なことに, braided monoidal category で enrich された monoidal category は,
つい最近まで文献に登場していなかったようである。 Morrison と Penneys の [MP]で定義された。
可換環は, Abel群の成す symmetric monoidal category の commutative monoid object
であるが, 代数幾何学の一般化を考えるときに, 可換環をある symmetric monoidal category の commutative
monoid object に取り替えるということも考えられている。
また, monoidal category 自体, category の成す monoidal bicategory での “lax monoid
object” とみなすことができる。よってその上の “module” を考えることができる。また monoidal bicategory のような,
monoidal structure の拡張も色々考えられている。
References
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[CE08]
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Damien Calaque and Pavel Etingof. “Lectures on tensor categories”.
In: Quantum groups. Vol. 12. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur.
Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 1–38. arXiv: math/0401246. url:
http://dx.doi.org/10.4171/047-1/1.
-
[JS91]
-
André Joyal and Ross Street. “The geometry
of tensor calculus. I”. In: Adv. Math. 88.1 (1991), pp. 55–112. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(91)90003-P.
-
[Kas95]
-
Christian Kassel. Quantum groups. Vol. 155. Graduate Texts in
Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1995, pp. xii+531. isbn:
0-387-94370-6.
-
[Mac98]
-
Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician.
Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York:
Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.
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[MP]
-
Scott Morrison and David Penneys. Monoidal categories enriched in
braided monoidal categories. arXiv: 1701.00567.
-
[Str]
-
Ross Street. Monoidal categories in, and linking, geometry and
algebra. arXiv: 1201.2991.
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