Monoidal category の例

恐らく, monoidal category の構造が最も良く使われているのは, quantum group の表現や, それに基づいた低次元多様体の不変量などの研究だろう。

• 表現論などで使われる monoidal category

代数的トポロジーでは, 例として以下のものが基本である。

• 位相空間の圏 (monoidal structure は直積)
• chain complexの圏 (monoidal structure は tensor product)
• simplicial setの圏 (monoidal structure は直積)
• \(S\)-module や symmetric spectrum など近代的な structured spectrum の圏 (monoidal structure は smash product)

これらは monoidal model category にもなっている。

Small category の成す 2-category の monoidal structure を考えたのは, J.W. Gray [Gra74] である。その enriched version を Stanculescu が [Sta13] で考えている。

• Gray tensor product

この Gray の monoidal structure は tricategory の strict化で必要になる。

Day [Day70] は, monoidal category \(\bm{V}\) に対し, Yoneda embedding \[ \bm{V} \hookrightarrow \category{Funct}(\bm{V}^{\op },\category{Set}) \] が monoidal functor になるような monoidal structure を \(\category{Funct}(\bm{V}^{\op },\category{Set})\) に定義している。Day の convolution product と 呼ばれているようである。また, [Day74] でその一般化を考えている。

定義域の category を fix しないで, small category の category での全ての diagramの 成す category を考えているのが, D. Borisov の [Bor] である。 そこでは, Grothendieck construction と類似の操作で monoidal structure が定義されている。

References

[Bor]

Dennis Borisov. The club of simplicial sets. arXiv: 1001.2341.

[Day70]

Brian Day. “On closed categories of functors”. In: Reports of the Midwest Category Seminar, IV. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 137. Berlin: Springer, 1970, pp. 1–38.

[Day74]

Brian Day. “On closed categories of functors. II”. In: Category Seminar (Proc. Sem., Sydney, 1972/1973). Berlin: Springer, 1974, 20–54. Lecture Notes in Math., Vol. 420.

[Gra74]

John W. Gray. Formal category theory: adjointness for \(2\)-categories. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 391. Berlin: Springer-Verlag, 1974, pp. xii+282.

[Sta13]

Alexandru Emil Stanculescu. “Formal aspects of Gray’s tensor products of 2-categories”. In: Appl. Categ. Structures 21.6 (2013), pp. 781–800. arXiv: 1003.1994. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-012-9282-7.