String Diagram

String diagram という category theory で用いられる図がある。正確には, \(2\)-category での morphism や \(2\)-morphism を表すのに使う。 Monoidal category は, object が 1つの bicategory なので, 当然 strict monoidal category にも使える。

というより, どちらかというと monoidal category でよく使われるものだろう。 実際, 基本的な文献である Joyal と Street の [JS91] は, monoidal category に関するものである。Penrose の [Pen71] が起源のようである。

他の文献としては, Penrose と Rindler の本 [PR87; PR88], Street の [Str12] の §1.3, Kissinger の [Kis; Kis14], Calderaru と Willerton の [CW10] の §1.1, Bartlett の [Bar], Selinger の [Sel11], Savage の lecture note [Sav21] などがある。 Savage は, Turaev と Virelizer の本 [TV17] の Chapter 2を参照している。

基本的なアイデアは, object を\(2\)次元胞体, \(1\)-morphism をその境界の \(1\)次元胞体, \(2\)-morphism を\(1\)次元胞体の間の\(0\)次元胞体, として絵を描くことである。つまり, 平面の cellular stratification を用いて, \(2\)-category を表す。

\(2\)-category の場合の文献はあまり無い, と思っていたら, Marsden の [Mar] が出た。色付きの図が豊富である。 Ganter と Usher の [GU16] の §2.2 にも簡単なまとめがある。

Myers [Mye] は, double category への拡張を導入している。

以上は, strict な monoidal category や \(2\)-category の場合であるが, どんな monoidal category や bicategory も strict なものに置き換えることができるからか, strict ではない場合は, あまり考えられていないようであるが, 最近 Wilson と Ghica と Zanasi の [WGZ23] が登場した。

他の一般化も色々考えられている。例えば以下のようなものがある:

• manifold diagram [DD]
• string diagram for optics [Boi20]
• graphical calculus for Gray monoid [Ver]
• graphical calculus bimonoidal category [CDH]
• string diagram for strict \(4\)-category [Ara]
• string diagram for effectful category [Rom23]

高次の圏に関する証明の proof assistant として, string diagram を用いた Globular という web 上の service が公開された。 この \(n\)-Category Café のポスト で紹介されている。 nLabのページもある。 現在では, その後継である homotopy.io に置き換えられたようである。

String diagram に基づいた proof assistant としては, Quantomatic というソフトもある。 Kissinger と Zamdzhiev により [KZ15] で解説されている。 Kissinger は Globular の開発にも参加している。

References

[Ara]

Manuel Araújo. String diagrams for \(4\)-categories and fibrations of mapping \(4\)-groupoids. arXiv: 2012.03797.

[Bar]

Bruce Bartlett. On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum field theory. arXiv: 0901.3975.

[Boi20]

Guillaume Boisseau. “String diagrams for optics”. In: 5th International Conference on Formal Structures for Computation and Deduction. Vol. 167. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2020, Art. No. 17, 18. arXiv: 2002.11480.

[CDH]

Cole Comfort, Antonin Delpeuch, and Jules Hedges. Sheet diagrams for bimonoidal categories. arXiv: 2010.13361.

[CW10]

Andrei Căldăraru and Simon Willerton. “The Mukai pairing. I. A categorical approach”. In: New York J. Math. 16 (2010), pp. 61–98. arXiv: 0707 . 2052. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2010/16_61.html.

[DD]

Christoph Dorn and Christopher Douglas. Manifold diagrams and tame tangles. url: https://cxdorn.github.io/assets/pdfs/mdiag_aug22.pdf.

[GU16]

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[JS91]

André Joyal and Ross Street. “The geometry of tensor calculus. I”. In: Adv. Math. 88.1 (1991), pp. 55–112. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(91)90003-P.

[Kis]

Aleks Kissinger. Pictures of Processes: Automated Graph Rewriting for Monoidal Categories and Applications to Quantum Computing. arXiv: 1203.0202.

[Kis14]

Aleks Kissinger. “Abstract tensor systems as monoidal categories”. In: Categories and types in logic, language, and physics. Vol. 8222. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Heidelberg, 2014, pp. 235–252. arXiv: 1308.3586. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-54789-8_13.

[KZ15]

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[Mar]

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[Mye]

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[PR87]

Roger Penrose and Wolfgang Rindler. Spinors and space-time. Vol. 1. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Two-spinor calculus and relativistic fields. Cambridge University Press, Cambridge, 1987, pp. x+458. isbn: 0-521-33707-0.

[PR88]

Roger Penrose and Wolfgang Rindler. Spinors and space-time. Vol. 2. Second. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Spinor and twistor methods in space-time geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1988, pp. x+501. isbn: 0-521-34786-6.

[Rom23]

Mario Román. “Promonads and string diagrams for effectful categories”. In: Proceedings—Fifth International Conference on Applied Category Theory. Vol. 380. Electron. Proc. Theor. Comput. Sci. (EPTCS). EPTCS, [place of publication not identified], 2023, pp. 344–361. arXiv: 2205.07664.

[Sav21]

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[Sel11]

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[Str12]

Ross Street. “Monoidal categories in, and linking, geometry and algebra”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 19.5 (2012), pp. 769–821. arXiv: 1201.2991. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1354031551.

[TV17]

Vladimir Turaev and Alexis Virelizier. Monoidal categories and topological field theory. Vol. 322. Progress in Mathematics. Birkhäuser/Springer, Cham, 2017, pp. xii+523. isbn: 978-3-319-49833-1; 978-3-319-49834-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-49834-8.

[Ver]

Dominic Verdon. Coherence for braided and symmetric pseudomonoids. arXiv: 1705.09354.

[WGZ23]

Paul Wilson, Dan Ghica, and Fabio Zanasi. “String diagrams for non-strict monoidal categories”. In: 31st EACSL Annual Conference on Computer Science Logic (CSL 2023). Vol. 252. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2023, Paper No. 37, 19. arXiv: 2201.11738. url: https://doi.org/10.4230/lipics.csl.2023.37.