写像空間のトポロジー

代数的トポロジーでは, 連続写像の成す空間 \(\mathrm{Map}(X,Y)\) や その基点付き版 \(\mathrm{Map}_*(X,Y)\) をよく使う。 例えばループ空間など。

• コンパクト開位相と写像空間の基本
• 基点付きループ空間 (based loop space) \(\Omega X\)

一つの理由は, \(\mathrm{Map}(X,-)\)や\(\mathrm{Map}_*(X,-)\)が, \((-)\times X\)や\((-)\wedge X\)という基本的な関手の right adjoint だからである。 ホモトピー代数の視点からは, 空間に対し できるだけ多くの操作ができることが望ましく, 写像空間による構成はその基 本となる。

• 写像空間を用いた構成

写像空間のホモトピー論についてまとめたものとして, S.B. Smithの [Smi]がある。

写像空間のような無限次元の空間を調べる際には, よくわかっている有限次元 の空間で近似しないと扱うのが難しい。そのような写像空間のモデルは色々考案されてい る。特に多重ループ空間を調べる際には有効である。

• 写像空間のモデル
• 多重ループ空間
• 自由ループ空間を始めとした基点自由な 写像空間
• ループ空間のホモロジー

写像空間\(\mathrm{Map}(X,F)\)を自明なbundleのcross sectionの 成す空間とみなすことは, 様々な場面で有効である。例えば, twisted cohomologyの構成など。

• sectionの成す空間

写像空間やsectionの空間のホモトピー群を計算する spectral sequenceもある。

• Federer spectral sequence [Fed56]
• Schultzのsectionの空間のホモトピー群を計算するためのspectral sequence [Sch73]

可微分多様体の間の写像を考えるときには, 当然可微分なものを考える必要が ある。可微分写像の成す空間としては, 埋め込みの成す空間やdiffeomorphism の成す位相群などがよく調べられている。

• 埋め込みのなす空間
• diffeomorphism group

代数多様体や複素多様体の間の写像としては rational mapやholomorphic map の成す空間を考えるのが自然である。 それがどれぐらい連続写像で近似できるかということについては, 有名な Segalの仕事 [Seg79] がある。

• spaces of rational maps and holomorphic maps

その拡張として, Jeremy Miller [Mila; Milb]は \(J\)-holomorphic curveの 成す空間を考えている。それによると, Segalの結果を\(J\)-holomorphic curve に拡張することについては, 既にCohenと Jonesと Segal [CJS00]によって研究が始まっていたようである。 Millerのアプローチは, topological chiral homology を使っている点で興味深い。

多様体上のループ空間に関する話題としては, string topologyもある。

• string topology

連続とは限らない写像のなす空間もいる。このよ うな空間を考えるときには, 当然関数解析的な手法で位相を入れないといけない。 写像空間は, 多様体になるにしても, 通常無限次元であるが, そのような場合 にはやはり関数解析的構造を考えないといけない。 Saldanha [Sala; Salb] は, \(S^2\)上の locally convex smooth curveの成す Hilbert manifoldの ホモロジーやホモトピー群を調べて いる。

References

[CJS00]

Ralph L. Cohen, John D. S. Jones, and Graeme B. Segal. “Stability for holomorphic spheres and Morse theory”. In: Geometry and topology: Aarhus (1998). Vol. 258. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, pp. 87–106. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/258/04057.

[Fed56]

Herbert Federer. “A study of function spaces by spectral sequences”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), pp. 340–361.

[Mila]

Jeremy Miller. Homological stability properties of spaces of rational \(J\)-holomorphic curves in \(\mathbb{P}^2\). arXiv: 1110.1665.

[Milb]

Jeremy Miller. The topology of the space of \(J\)-holomorphic maps to \(\CP ^2\). arXiv: 1210.7377.

[Sala]

Nicolau C. Saldanha. The homotopy and cohomology of spaces of locally convex curves in the sphere – I. arXiv: 0905.2111.

[Salb]

Nicolau C. Saldanha. The homotopy and cohomology of spaces of locally convex curves in the sphere – II. arXiv: 0905.2116.

[Sch73]

Reinhard Schultz. “Homotopy decompositions of equivariant function spaces. I”. In: Math. Z. 131 (1973), pp. 49–75.

[Seg79]

Graeme Segal. “The topology of spaces of rational functions”. In: Acta Math. 143.1-2 (1979), pp. 39–72. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392088.

[Smi]

Samuel Bruce Smith. The homotopy theory of function spaces: a survey. arXiv: 1009.0804.