Configuration space のホモロジー

Configuration spaceホモロジーについて, まず Euclid空間の場合は以下の結果がある。

  • Fred Cohen [CLM76] による \(H_*(\mathrm{Conf}_k(\R ^n))\) の決定

Euclid空間の configuration space のホモロジーを計算する方法は, 他にも色々ある。 複素平面の configuration space については, real central arrangement の complexification の complement と考えて, そのホモトピー型を表す Salvetti complex を使うことができる。Sinha の [Sin] では, operad の視点からの計算が述べてある。

Euclid空間の configuration space の一般化としては, 二つの方向が考えられる。 Euclid空間を他の空間に取り替えたものと「互いに異なる点」という条件を別の条件に変えたものである。

条件を変えたものの代表が, hyperplane arrangement の complement である。 ホモトピー論に関係があるものとして, Cohen と Kamiyama [CK07] の “center of mass configuration” がある。Gray の Cohen-Moore-Neisendorfer の結果の一般化を目指すプログラムに関係があり, 興味深い。 最も簡単な場合の計算については, [Tam12] に書いた。

空間を変える場合は, 多様体を考えることが多いようである。

  • Bödigheimer と Cohen と Tayler [BCT89] による多様体の configuration space の Betti 数の記述
  • Böigheimer と Cohen [BC88] による, 曲面の configuration space の rational cohomology の計算
  • Feichtner と Ziegler [FZ00; FZ02] による球面の configuration space の integral homology の決定
  • Gonzalez と Landweber と Dominiguez [GL; DGL] による実射影空間の2点の configuration space の integral cohomology の決定

Bödigheimer と Cohen (と Taylor) の方法は, \(k\)点の cofiguration space それぞれを個別に考えるのではなく, \(k\) に関して集めて多重ループ空間のホモロジーと関係づけて考える, という点でユニークである。

一般の多様体の configuration space のホモロジーを計算するための道具として, 次のようなスペクトル系列がある。

  • Cohen と Taylor [CT78] による \(H^*(\mathrm{Conf}_k(M))\) に収束するスペクトル系列の構成, および Gel’fand-Fuks cohomology との関連
  • Bendersky と Gitler [BG91] による \(H^*(\mathrm{Conf}_k(M))\) に収束するスペクトル系列の構成

Cohen-Taylor のスペクトル系列と Bendersky-Gitler のスペクトル系列の関係については, Felix と Thomas の [FT04] に書いてある。

代数多様体の rational cohomology については, Kriz [Křı́94] が dg algebra model を構成している。 また Totaro が [Tot96] で調べている。そこでは, Leray spectral sequence が使われている。その \(E_2\)-term の記述は, 代数多様体でなくても使える。 また Ashraf と Azam と Berceanu の [AAB] によると, Kriz のモデルは Lambrecht と Staley [LS08] により cohomology が Poincaré duality を持つ空間の configuration space に一般化されている。Ashraf らは, Kriz-Lambrechts-Stanley model への対称群の作用を考えている。

  • Krizの rational model
  • Lambrechts-Stanley model
  • Totaro による inclusion \(\mathrm{Conf}_k(X) \hookrightarrow X^k\) の Leray spectral sequence の \(E_2\)-term の記述と有理数係数の場合の解析

単体的複体の場合には, Gal による Euler標数の公式 [Gal01] がある。

  • Gal の公式

Configuration space の局所係数のコホモジーは, 幾何学的 (代数的) 意味付けがあったりする。例えば, Frenkel と Kirillov と Varchenko の [FKV97] など。

\(\mathrm{Conf}_k(M)\) には, 自然に対称群 \(\Sigma _k\) が作用するが, その作用による商空間 \(B(M,k) = \mathrm{Conf}_k(M)/\Sigma _k\) のホモロジーの方がよくわかっている。例えば, Kallel は [Kal] で, 今までに知られている結果の精密化やコホ モロジー次元などについて述べている。

あるいは, 対称群で割る前の \(H_*(\mathrm{Conf}_k(M))\) を \(\Sigma _k\)-module, つまり \(\Sigma _k\) の表現とみなすことも考えられている。 d’Antonio と Gaiffi [dG] によると, \(M=\R ^n\) のときには, この表現を調べたものとして, \(n=2\) のときは Lehrer と Solomon の [LS86], Lehrer の [Leh87], 一般の \(n\) では Cohen と Taylor の [CT93], Lehrer の [Leh00] などがある。

更に, d’Antonio と Gaiffi によると, この表現は \(\Sigma _{k+1}\) の表現に拡張でき, その方法が少なくとも3通り知られているようである。Gaiffi の [Gai96], Mathieu の [Mat96], Robinson と Whitehouse の [RW96] である。

Church と Ellenberg と Farb [CEF15] は, より一般に, 有限集合と単射の成す圏 \(\bm{FI}\) の表現, つまり FI-module とみなすことを提案している。

この FI-module という道具は, 様々な点の個数の configuration space をまとめて考えるときには有効にようである。

新しい道具としては, factorization homology もある。Knudsen の [Knu17] などで使われている。

他の moduli space も含めた, \(k\to \infty \) のときのホモロジーの stability について, Randal-Williams が [Ran] で調べている。

References

[AAB]

Samia Ashraf, Haniya Azam, and Barbu Berceanu. Representation theory for the Kriz model. arXiv: 1204.1272.

[BC88]

C.-F. Bödigheimer and F. R. Cohen. “Rational cohomology of configuration spaces of surfaces”. In: Algebraic topology and transformation groups (Göttingen, 1987). Vol. 1361. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1988, pp. 7–13. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0083031.

[BCT89]

C.-F. Bödigheimer, F. Cohen, and L. Taylor. “On the homology of configuration spaces”. In: Topology 28.1 (1989), pp. 111–123. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(89)90035-9.

[BG91]

Martin Bendersky and Sam Gitler. “The cohomology of certain function spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 423–440. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001871.

[CEF15]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. “FI-modules and stability for representations of symmetric groups”. In: Duke Math. J. 164.9 (2015), pp. 1833–1910. arXiv: 1204.4533. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-3120274.

[CK07]

F. R. Cohen and Y. Kamiyama. “Configurations and parallelograms associated to centers of mass”. In: Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology. Vol. 11. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 17–32. arXiv: math/0611732.

[CLM76]

Frederick R. Cohen, Thomas J. Lada, and J. Peter May. The homology of iterated loop spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 533. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+490.

[CT78]

F. R. Cohen and L. R. Taylor. “Computations of Gel\('\) fand-Fuks cohomology, the cohomology of function spaces, and the cohomology of configuration spaces”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), I. Vol. 657. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 106–143.

[CT93]

F. R. Cohen and L. R. Taylor. “On the representation theory associated to the cohomology of configuration spaces”. In: Algebraic topology (Oaxtepec, 1991). Vol. 146. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, pp. 91–109. url: https://doi.org/10.1090/conm/146/01217.

[dG]

Giacomo d’Antonio and Giovanni Gaiffi. Symmetric group actions on the cohomology of configurations in \(\R ^d\). arXiv: 0909.4877.

[DGL]

Carlos Domínguez, Jesus González, and Peter Landweber. The integral cohomology of configuration spaces of pairs of points in real projective spaces. arXiv: 1106.4593.

[FKV97]

Igor Frenkel, Alexander Kirillov Jr., and Alexander Varchenko. “Canonical basis and homology of local systems”. In: Internat. Math. Res. Notices 16 (1997), pp. 783–806. arXiv: q-alg/9703007. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792897000512.

[FT04]

Yves Felix and Jean-Claude Thomas. “Configuration spaces and Massey products”. In: Int. Math. Res. Not. 33 (2004), pp. 1685–1702. arXiv: math/0304226. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804140270.

[FZ00]

Eva Maria Feichtner and Günter M. Ziegler. “The integral cohomology algebras of ordered configuration spaces of spheres”. In: Doc. Math. 5 (2000), 115–139 (electronic).

[FZ02]

Eva Maria Feichtner and Günter M. Ziegler. “On orbit configuration spaces of spheres”. In: Topology Appl. 118.1-2 (2002). Arrangements in Boston: a Conference on Hyperplane Arrangements (1999), pp. 85–102. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00043-8.

[Gai96]

Giovanni Gaiffi. “The actions of \(S_{n+1}\) and \(S_n\) on the cohomology ring of a Coxeter arrangement of type \(A_{n-1}\)”. In: Manuscripta Math. 91.1 (1996), pp. 83–94. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02567941.

[Gal01]

Światosław R. Gal. “Euler characteristic of the configuration space of a complex”. In: Colloq. Math. 89.1 (2001), pp. 61–67. arXiv: math/0202143. url: http://dx.doi.org/10.4064/cm89-1-4.

[GL]

Jesus Gonzalez and Peter Landweber. The integral cohomology groups of configuration spaces of pairs of points in real projective spaces. arXiv: 1004.0746.

[Kal]

Sadok Kallel. Symmetric Products, Duality and Homological Dimension of Configuration Spaces. arXiv: math/0611436.

[Knu17]

Ben Knudsen. “Betti numbers and stability for configuration spaces via factorization homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.5 (2017), pp. 3137–3187. arXiv: 1405.6696. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3137.

[Křı́94]

Igor Křı́ž. “On the rational homotopy type of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.2 (1994), pp. 227–237. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946581.

[Leh00]

G. I. Lehrer. “Equivariant cohomology of configurations in \(\R ^d\)”. In: vol. 3. 4. Special issue dedicated to Klaus Roggenkamp on the occasion of his 60th birthday. 2000, pp. 377–384. url: https://doi.org/10.1023/A:1009906210797.

[Leh87]

G. I. Lehrer. “On the Poincaré series associated with Coxeter group actions on complements of hyperplanes”. In: J. London Math. Soc. (2) 36.2 (1987), pp. 275–294. url: https://doi.org/10.1112/jlms/s2-36.2.275.

[LS08]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “A remarkable DGmodule model for configuration spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.2 (2008), pp. 1191–1222. arXiv: 0707.2350. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.1191.

[LS86]

G. I. Lehrer and Louis Solomon. “On the action of the symmetric group on the cohomology of the complement of its reflecting hyperplanes”. In: J. Algebra 104.2 (1986), pp. 410–424. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(86)90225-5.

[Mat96]

Olivier Mathieu. “Hidden \(\Sigma _{n+1}\)-actions”. In: Comm. Math. Phys. 176.2 (1996), pp. 467–474. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104286007.

[Ran]

Oscar Randal-Williams. Resolutions of moduli spaces and homological stability. arXiv: 0909.4278.

[RW96]

Alan Robinson and Sarah Whitehouse. “The tree representation of \(\Sigma _{n+1}\)”. In: J. Pure Appl. Algebra 111.1-3 (1996), pp. 245–253. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)00116-6.

[Sin]

Dev Sinha. The homology of the little disks operad. arXiv: math/0610236.

[Tam12]

Dai Tamaki. “On the homology of configuration spaces associated to centers of mass”. In: Arrangements of hyperplanes—Sapporo 2009. Vol. 62. Adv. Stud. Pure Math. Tokyo: Math. Soc. Japan, 2012, pp. 417–457. arXiv: 1004.0039.

[Tot96]

Burt Totaro. “Configuration spaces of algebraic varieties”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 1057–1067. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(95)00058-5.