Ind-objects and Pro-objects

代数的トポロジーでは, 空間の tower \[ \cdots \longrightarrow X_1 \longrightarrow X_0 \] をよく使う。例えば, Postnikov tower や Goodwillie tower など。空間の Postnikov 分解を考えることは, inverse limit を取る操作の逆の操作である。一般の圏でも, inverse limit を取ることにより失われる情報を得るために, tower の段階で考えることがある。より一般に, \(\N \) 以外で添字付けられた図式 (filtered category からの contravariant functor, つまり cofiltered diagram) を object とした pro-object の圏を考える。このとき, 添字の small category は, 一つに固定されているのではないことに注意する。よって morphism の集合の定義を理解することが大事である。

Fausk と Isaksen の [FI07] には, pro-object に関する文献として [SGA4-172; AM86; EH76] が挙げてある。恐らく, limit や colimit を取る前の図式で考えるというアイデアは, Grothendieck に依るものだろう。

もちろん, filtered diagram (filtered category からの covariant functor) も考える。ind-object という。

• 圏 \(\bm {C}\) の pro-object の圏 \(\category {Pro}(\bm {C})\)
• 圏 \(\bm {C}\) の ind-object の圏 \(\category {Ind}(\bm {C})\)

Blom と Moerdijk の [BM23] では, これらの圏は, \(\bm {C}\) の pro-completion とか ind-completion などと呼ばれている。その §2.2 に基本的な性質がまとめられていて便利である。 Blom と Moerdijk は, Isaksen の [Isa02] を挙げているが。

• pro-object
• ind-object

元の category が model structure を持つとき, pro-object や ind-object の成す category の model structure を考えたくなるが, それについても色々調べられている。

• model category の pro-object や ind-object の成す category の model structure

Previdi の [Pre11] によると, 与えられた圏 \(C\) の pro-object の圏を取る操作 \(\category {Pro}(C)\) と ind-object の圏を取る操作 \(\category {Ind}(C)\) を繰り返すことにより, 有限(次元)のものから無限(次元)のものを構成するというアイデアは, K. Kato [Kat00] によるらしい。Kato 以外にも Beilinson [Beı̆87] も考えていたようで, Previdi は, それらを比較している。

Arkhipov と Kremnizer の [AK10] では, 有限次元ベクトル空間の圏の locally compact object を \(1\)-Tate space, 帰納的に \(n\)-Tate space の圏の locally compact object を \((n+1)\)-Tate space と呼んでいる。

• elementary Tate object
• Tate object

Braunling と Groechenig と Wolfson [BGW16] は, exact category での elementary Tate object の成す subcategory の特徴付けを得ている。

2-category 版については Descotte と Dubuc の [DD14; DD] で提案されているものがある。

References

[AK10]

Sergey Arkhipov and Kobi Kremnizer. “2-gerbes and 2-Tate spaces”. In: Arithmetic and geometry around quantization. Vol. 279. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2010, pp. 23–35. arXiv: 0708.4401. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4831-2_2.

[AM86]

M. Artin and B. Mazur. Etale homotopy. Vol. 100. Lecture Notes in Mathematics. Reprint of the 1969 original. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. iv+169. isbn: 3-540-04619-4.

[Beı̆87]

A. A. Beı̆linson. “How to glue perverse sheaves”. In: \(K\)-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986). Vol. 1289. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 42–51. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078366.

[BGW16]

Oliver Braunling, Michael Groechenig, and Jesse Wolfson. “Tate objects in exact categories”. In: Mosc. Math. J. 16.3 (2016). With an appendix by Jan Šťovíček and Jan Trlifaj, pp. 433–504. arXiv: 1402.4969. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504.

[BM23]

Thomas Blom and Ieke Moerdijk. “Simplicial model structures on pro-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 23.8 (2023), pp. 3849–3908. arXiv: 2009.07539. url: https://doi.org/10.2140/agt.2023.23.3849.

[DD]

M. Emilia Descotte and Eduardo J. Dubuc. A theory of \(2\)-pro-objects (with expanded proofs). arXiv: 1406.5762.

[DD14]

Emilia Descotte and Eduardo J. Dubuc. “A theory of 2-pro-objects”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 55.1 (2014), pp. 2–36.

[EH76]

David A. Edwards and Harold M. Hastings. ̌Cech and Steenrod homotopy theories with applications to geometric topology. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 542. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+296.

[FI07]

Halvard Fausk and Daniel C. Isaksen. “t-model structures”. In: Homology Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 399–438. arXiv: math/0511056.

[Isa02]

Daniel C. Isaksen. “Calculating limits and colimits in pro-categories”. In: Fund. Math. 175.2 (2002), pp. 175–194. arXiv: math/0106094. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm175-2-7.

[Kat00]

Kazuya Kato. “Existence theorem for higher local fields”. In: Invitation to higher local fields (Münster, 1999). Vol. 3. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000, pp. 165–195. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2000.3.165.

[Pre11]

Luigi Previdi. “Locally compact objects in exact categories”. In: Internat. J. Math. 22.12 (2011), pp. 1787–1821. arXiv: 0710.2509. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X11007379.

[SGA4-172]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.