Moore 空間や Moore spectrum

係数環が \(\Z /p\Z \) であるホモロジー \(H_*(X;\Z /p\Z )\) は, \(p\) が素数のときは, \(\Z \)係数のホモロジー \(H_*(X;\Z )\) より扱い易く, それと Bockstein 作用素を用いることにより, \(H_*(X;\Z )\) の \(p\)-torsion を調べることができる。

ホモトピー群で最初に同様のことを考えたのは, F.P. Peterson であり, 現在 Moore 空間と呼ばれている空間を用いて, 任意の Abel群に係数を持つホモトピー群を定義 [Pet56] した。

Moore 空間自体は, J.C. Moore の論文 [Moo54] に現れたのが最初ではないか, と思う。Moore は, この論文で既に球面の double suspension の homotopy fiber と mod \(p\) Moore空間の関連について言及しており, 後の Cohen-Moore-Neisendorfer の仕事の布石になっているのがわかる。

Moore 空間の記号には様々なものがある。 Eilenberg-Mac Lane 空間との類似 (双対性) を強調するときは, type \((G,n)\) のMoore空間を \(M(G,n)\) と書くことが多い。非安定ホモトピー論では, \(G\) が巡回群 \(\Z /n\Z \) の場合を考えることが多く, その場合 mod \(n\) Moore空間といい, \(m\)次元のものを \(P^m(n)\) と表わす。 ここで \[ P^m(n) = M(\Z /n\Z ,m-1) \] であることに注意する。

安定ホモトピー論における chromatic な視点からは, 奇素数 \(p\) に対する mod \(p\) Mooreスペクトラム は, 球面スペクトラムの次に考えるべき研究対象, つまり type \(1\) complex である。要するに, mod \(p\) Moore 空間と \(K\)理論との間に密接な関係があるということであり, これに関してはAdamsの研究 [Ada66] が出発点である。\(2\)-primary な場合は, 少し修正が必要であるが。

  • Abel 群 \(G\) に対し type \((G,n)\) の Moore スペクトラム
  • 奇素数 \(p\) に対し, mod \(p\) Moore空間上のAdams map
  • 奇素数\(p\)については, Adams map は \[ P^{2p}(p) \longrightarrow P^3(p) \] まで desuspend できるが, それ以上は, desuspend できないこと。 [CN86]

mod \(p\) Moore space が, \(p=2\) の時に奇素数と異なる行動をとることは, Schwede が [Sch10] で述べているように, 安定ホモトピー圏と chain complex のような代数的に起源を持つ triangulated category との一つの違いを表している。

もっとも, 一般の triagulated category で Moore spectrum の類似を構成しようという試みもある。Pauksztello の [Pau10] である。

奇素数での mod \(p\) Moore space 上の Adams map は, \(\mathrm {BP}\)-homology 上では \(v_1\) 倍と対応している。そして, 安定ホモトピー圏では, そのcofiber \(V(1)\) 上に \(p\ge 5\) で \(v_2\) に対応する写像が存在する。これをより一般化した, いわゆる Toda-Smith complex \(V(n)\) や, 更に一般的な type \(n\) complex の概念が, 安定ホモトピー圏の大域的構造を考える際に, 重要な役割を果している。

\(V(1)\) は mod \(p\) Moore spectrum の間の Adams map の homotopy cofiber (mapping cone) として作るが, その存在と密接に関係しているのが, Moore spectrum の積の存在である。

  • mod \(2\) Moore spectrum は単位元を持つ積を持たない。
  • mod \(3\) Moore spectrum は, homotopy associative な積を持たない。 [Tod68]
  • mod \(p\) Moore spectrum は \(A_{p-1}\)-structure を持つが, \(A_{p}\)-structure を持たない。
  • mod \(2^{i}\) Moore spectrum は \(A_{3}\)-structure を持つ。 [Oka84]

これらの結果以降, Moore spectrum の higher homotopy associativity については進歩が無かったが, 最近 Bhattcharya ら [Bha22; BK22] により大きく進展している。 Moore spectrum を, 現代的な方法で spectrum の morphism の Thom spectrum として表し, その写像が \(A_{n}\)-map になるための条件を調べている。

Daniel Davis と Lawson [DL] は, このような type \(n\) complex の tower で, その limit が sphere spectrum になっているものを考え, それが pro-spectrum の圏では, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の構造を持つことを示している。 上記の \(V(n)\)上の \(v_{n+1}\) の存在は, \(V(n)\) の積構造の存在と深く関係しているため, この Davis と Lawson の結果は, pro-object として考えると, これらの obstruction が消えていることを示していて, 興味深い。

安定ホモトピー圏の object として考える場合には問題にはならないが, Moore スペクトラムを空間列として表現しようとすると, いくつかの選択肢があり, そのどれも重要である。 これが, unstable な chromatic phenomena を研究する際の一つの困難になっている。

例えば, 次のようなものがある。

  • mod \(p\) Moore空間の列 \(\{P^n(p)\}_{n\ge 2}\)
  • 奇数次元球面の double suspension \(S^{2n-1} \rarrow {E^2} \Omega ^2 S^{2n+1}\) の homotopy fiber \(W(n)\) を用いる。
  • Gray の EHP スペクトラム [Gra93a; Gra93b] として実現する。

まず, 最も基本的なのは, mod \(p\) Moore 空間の列として表わすことである。 mod \(p\) ホモトピー群と mod \(p\) Moore 空間については, Neisendorfer の研究 [Nei80] が, 基本的である。 この中で以下のことが調べられている。

  • mod \(p\) Moore空間 の smash product の分解
  • mod \(p\) Hurewicz の定理
  • mod \(p\) Samelson product

これらを基にして, Cohen と Moore と Neisendorfer は, 一連の論文 [CMN79a; CMN79c; CMN79b; CMN87] で, Moore空間のループ空間の性質を調べ, 球面のホモトピー群の exponent など, 重要な結果を得ている。

その後, Cohen-Moore-Neisendorfer の研究を引き継ぐ形で, Anick [Ani93], Neinsedorfer [Nei99], Theriault [The01b; The01a; The03b; The03a] らが Moore 空間のループ空間の分解を研究している。

これらの研究, 特に Cohen-Moore-Neisendorfer と Anick の研究に現われた空間や写像をうまく組み合わせると, EHP列の類似が構成できることに, B. Gray は気がついた。それを一般化するプログラムを述べたのが, [Gra93a; Gra93b] である。

  • \(S^{2n+1}\{p^k\}\)
  • \(T^{2n+1}\{p^k\}\)

Grbic は, より一般の \(2\)-cell complexについて, [Grb] で “universal space” を構成している。それは, Moore space のときには, \(S^{2n+1}\{p^k\}\) になるものである。

References

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