Gel’fand-Naimark duality

可換な \(C^*\)-algebra とコンパクトHausdorff空間の間の“一対一対応”を与える Gel’fand-Naimark duality [GN43; GN94] は, 代数的トポロジーでは, \(K\)-theory を理解する上で, 是非とも理解しておきたい定理である。

解説としては, Doran と Wichmann の [DW77] や Doran と Belfi の本 [DB86] がある。Takesaki の本 [Tak02] も見るとよい。 ただ, この手の関数解析の本で欠けているのが, 圏論的な視点である。 非可換幾何に関するblogのこのpost にも書かれているように, 現在では, 2つの圏の間の contravariant な同値と考えるのが普通だろう。そのような圏論的なアプローチとして, Negripontis の [Neg71] がある。 Dell’Ambrogio のノート も圏同値として書かれている。

  • 極大イデアルの成す空間
  • 単位元を持つ可換な\(C^*\)環の圏とcompact Hausdorff空間の圏は, contravariant に同値
  • 単位元を仮定しない可換な\(C^*\)環の圏とlocally compact Hausdorff空間の圏は, contravariant に同値

可換な実 \(C^*\)-algebra は, Rosenberg の[Ros] によると, \(\Z /2\Z \) の作用を持つ空間に対応するようである。そこでは, Arens と Kaplansky の [AK48] の Theorem 9.1 が参照されている。

Gel\('\)fand-Naimark duality に現れる 極大イデアルの成す空間は, Grothendieck 流の代数幾何の基礎となっている, prime idealの成す“空間” のアイデアの元になったのではないだろうか。全くの想像ではあるが。

関連した duality としては, (局所) コンパクトHausdorff空間 \(X\)上の vector bundle とその section の成す projective \(C(X)\)-module の対応がある。Gel\('\)fand-Naimark duality も含んだ形のものは, [BCL07] では, Alonso Takahashi の “surprisingly almost unnoticed result” として紹介されている。

局所コンパクトHausdorff空間の中の特別な class に対応する \(C^*\)-algebra の class は何か, とか, その逆も自然な問題である。 例えば距離空間と separable \(C^*\)-algebra の関係は Chou の [Cho12] で解説されている。 ここでの separable は, 位相空間として可分ということである。

  • (単位元を持たない) 可換な separable \(C^*\)-algebra と \(\sigma \)-compact, locally compact, metrizable space が対応する。

よって, コンパクトの場合に限れば, 距離空間は 可分な可換 \(C^*\)-algebra に対応することが分かる。例えば, Mahanta の [Mah15] はその視点で書かれている。

非可換 Gel\('\)fand-Naimark duality と言えるものもある。問題は, 空間に対応するものが何か, であるが, それについては様々な提案が行なわれている。

  • 非可換 Gel\('\)fand-Naimark duality

例えば, Patel の [Pat] では, 一般の \(C^*\)-algebra に対応するのは, locally compact Hausdorff の quotient として表される空間のようである。 他に, Kruml と Resende ら [Kru+03] の quantale (quantum locale) を使うというアイデアや, de Silva [Sil] の位相空間の図式を対応させるというものもある。 他にもまだまだ様々なアプローチがあり, de Silva は Fujimoto の [Fuj98] を参照している。

Grothendieck topos の中でのある種の locale と可換な \(C^*\)-algebra の間の duality という形の一般化は, Banaschewski と Mulvey による一連の論文 [BM97; BM00b; BM00a; BM06] で考えられている。 Mulvey のホームページからは, Gel’fand-Naimark duality についての slide も download できる。

Gel’fand-Naimark duality の categorification が何かというのも, 興味深い問題である。 Baez の論文 [Bae97] によると, その一つとして Doplicher-Roberts の reconstruction theorem が考えられるようである。

The \(n\)-Category Café での議論も見るとよい。

The \(n\)-Category Café での別の postでは, Bertozzini により \(C^*\)-category への Gel\('\)fand-Naimark duality の一般化が考えられている。そのために \(C^*\)-category の spectrum として導入されたのが spaceoid という概念である。

  • Fell bundle
  • spaceoid

論文としては, [BCL11] を挙げるべきだろう。

References

[AK48]

Richard F. Arens and Irving Kaplansky. “Topological representation of algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), pp. 457–481. url: https://doi.org/10.2307/1990570.

[Bae97]

John C. Baez. “An introduction to \(n\)-categories”. In: Category theory and computer science (Santa Margherita Ligure, 1997). Vol. 1290. Lecture Notes in Comput. Sci. Berlin: Springer, 1997, pp. 1–33. arXiv: q-alg/9705009. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0026978.

[BCL07]

Paolo Bertozzini, Roberto Conti, and Wicharn Lewkeeratiyutkul. “Non-commutative geometry, categories and quantum physics”. In: East-West J. Math. Special Vol. (2007), pp. 213–259. arXiv: 0801.2826.

[BCL11]

Paolo Bertozzini, Roberto Conti, and Wicharn Lewkeeratiyutkul. “A horizontal categorification of Gel’fand duality”. In: Adv. Math. 226.1 (2011), pp. 584–607. arXiv: 0812.3601. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.06.025.

[BM00a]

Bernhard Banaschewski and Christopher J. Mulvey. “The spectral theory of commutative \(C^*\)-algebras: the constructive Gelfand-Mazur theorem”. In: Quaest. Math. 23.4 (2000), pp. 465–488. url: http://dx.doi.org/10.2989/16073600009485990.

[BM00b]

Bernhard Banaschewski and Christopher J. Mulvey. “The spectral theory of commutative \(C^*\)-algebras: the constructive spectrum”. In: Quaest. Math. 23.4 (2000), pp. 425–464. url: http://dx.doi.org/10.2989/16073600009485989.

[BM06]

Bernhard Banaschewski and Christopher J. Mulvey. “A globalisation of the Gelfand duality theorem”. In: Ann. Pure Appl. Logic 137.1-3 (2006), pp. 62–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.apal.2005.05.018.

[BM97]

Bernhard Banaschewski and Christopher J. Mulvey. “A constructive proof of the Stone-Weierstrass theorem”. In: J. Pure Appl. Algebra 116.1-3 (1997). Special volume on the occasion of the 60th birthday of Professor Peter J. Freyd, pp. 25–40. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(96)00160-0.

[Cho12]

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[DB86]

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[DR89]

Sergio Doplicher and John E. Roberts. “A new duality theory for compact groups”. In: Invent. Math. 98.1 (1989), pp. 157–218. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388849.

[DW77]

Robert S. Doran and Josef Wichmann. “The Gelfand-Naimark theorems for \(C^*\)-algebras”. In: Enseignement Math. (2) 23.3-4 (1977), pp. 153–180.

[Fuj98]

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[GN43]

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[GN94]

I. Gel\('\)fand and M. Neumark. “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”. In: \(C^\ast \)-algebras: 1943–1993 (San Antonio, TX, 1993). Vol. 167. Contemp. Math. Corrected reprint of the 1943 original [MR 5, 147]. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 2–19.

[Kru+03]

David Kruml, Joan Wick Pelletier, Pedro Resende, and Jiřı́ Rosický. “On quantales and spectra of \(C^*\)-algebras”. In: Appl. Categ. Structures 11.6 (2003), pp. 543–560. arXiv: math/0211345. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1026106305210.

[Mah15]

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[Neg71]

Joan W. Negrepontis. “Duality in analysis from the point of view of triples”. In: J. Algebra 19 (1971), pp. 228–253.

[Pat]

Mukul S. Patel. Noncommmutative theorems: Gelfand Duality, Spectral, Invariant Subspace, and Pontryagin Duality. arXiv: math/0503127.

[Ros]

Jonathan Rosenberg. Structure and applications of real \(C^*\)-algebras. arXiv: 1505.04091.

[Sil]

Nadish de Silva. From Topology to Noncommutative Geometry: \(K\)-theory. arXiv: 1408.1170.

[Tak02]

M. Takesaki. Theory of operator algebras. I. Vol. 124. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Reprint of the first (1979) edition, Operator Algebras and Non-commutative Geometry, 5. Berlin: Springer-Verlag, 2002, pp. xx+415. isbn: 3-540-42248-X.

[Tak79a]

Alonso Takahashi. “A duality between Hilbert modules and fields of Hilbert spaces”. In: Rev. Colombiana Mat. 13.2 (1979), pp. 93–120.

[Tak79b]

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