|
Quantale とは, quantum locale という意味らしい。Locale を位相空間の一般化とみなすことができることから,
非可換な空間のモデルの一つと考えることもできるようである。 Rosenthal による本 [Ros90] がある。
Resende が色々調べていて, Gel’fand-Naimark duality の非可換版も考えられている。Kruml と Resende
らの [Kru+03; KR04] である。そこでは, Mulvey により定義されたという unital \(C^*\)-algebra \(A\) に対して定義される
quantale \(\mathrm {Max}(A)\) の性質が調べられている。Mulvey の論文は ホームページ から download できるものもある。
- unital \(C^*\)-algebra の圏から unital involutive quantale の圏への functor Max
Max は, もちろん可換な \(C^*\)-algebra の極大イデアルの空間の類似であるが, 圏の同値にはなっていないようである。
また Resende は quantale と étale topological groupoid と inverse semigroup と
pseudogroup の関係について [Res07; Res05] に書いている。
Quantale 上の層については, 様々なアプローチがあるようで, Resende とRodrigues [RR10] にまとめられている。
最近では, Luiza Tenório ら [TAM] によるアプローチもある。
Quantale の many-objectification (horizontal categorification) は, quantaloid
と呼ばれる。
Shen と Tholen の [ST15] によると, 最初に調べたのは, Walters [Wal81] のようであるが, quantaloid
という名前は, Rosenthal の本 [Ros96] で登場したらしい。
Shen と Tholen は quantaloid で enrich された category での limit や colimit について調べているが,
最近 quantaloid-enriched category については, 色々調べられている。例えば, [HS11; SZ13; She; HS18;
SY] など。
References
-
[HS11]
-
Hans Heymans and Isar Stubbe. “Symmetry and Cauchy completion
of quantaloid-enriched categories”. In: Theory Appl. Categ. 25
(2011), No. 11, 276–294. arXiv: 1005.1018.
-
[HS18]
-
Dirk Hofmann and Isar Stubbe. “Topology from enrichment: the
curious case of partial metrics”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég.
59.4 (2018), pp. 307–353. arXiv: 1607.02269.
-
[KR04]
-
David Kruml and Pedro Resende. “On quantales that classify
\(C^{*}\)-algebras”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 45.4 (2004),
pp. 287–296. arXiv: math/0404001.
-
[Kru+03]
-
David Kruml, Joan Wick Pelletier, Pedro Resende, and Jiří
Rosický. “On quantales and spectra of \(C^{*}\)-algebras”. In: Appl. Categ.
Structures 11.6 (2003), pp. 543–560. arXiv: math/0211345. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1026106305210.
-
[Res05]
-
Pedro Resende. Quantales as geometric objects: symmetry beyond
groupoids? 2005. arXiv: math/0506451.
-
[Res07]
-
Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv.
Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math / 0412478. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.
-
[Ros90]
-
Kimmo I. Rosenthal. Quantales and their applications. Vol. 234.
Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific &
Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley
& Sons, Inc., New York, 1990, pp. x+165. isbn: 0-582-06423-6.
-
[Ros96]
-
Kimmo I. Rosenthal. The theory of quantaloids. Vol. 348. Pitman
Research Notes in Mathematics Series. Longman, Harlow, 1996,
pp. vi+147. isbn: 0-582-29440-1.
-
[RR10]
-
Pedro Resende and Elias Rodrigues. “Sheaves as modules”. In: Appl.
Categ. Structures 18.2 (2010), pp. 199–217. arXiv: 0711.4401. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9131-x.
-
[She]
-
Lili Shen. Adjunctions in Quantaloid-enriched Categories. arXiv:
1408.0321.
-
[ST15]
-
Lili Shen and Walter Tholen. “Limits and
colimits of quantaloid-enriched categories and their distributors”. In:
Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 56.3 (2015), pp. 209–231. arXiv:
1504.03348.
-
[SY]
-
Lili Shen and Hang Yang. Injective symmetric quantaloid-enriched
categories. arXiv: 2201.10754.
-
[SZ13]
-
Lili Shen and Dexue Zhang. “Categories enriched over a
quantaloid: Isbell adjunctions and Kan adjunctions”. In: Theory
Appl. Categ. 28 (2013), pp. 577–615. arXiv: 1307 . 5625. url:
https://doi.org/10.1002/int.21602.
-
[TAM]
-
Ana Luiza Tenório, Caio de Andrade Mendes, and Hugo Luiz
Mariano. On sheaves on semicartesian quantales and their truth
values. arXiv: 2204.08351.
-
[Wal81]
-
R. F. C. Walters. “Sheaves and Cauchy-complete categories”.
In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 22.3 (1981). Third
Colloquium on Categories, Part IV (Amiens, 1980), pp. 283–286.
|
