Algebraic K-Theory of ∞-Categories

Toën と Vezzosi [TV04] は, Waldhausen category の algebraic \(K\)-theory は, その Dwyer-Kan hammock localization で得られる simplicial category で完全に決まることを示している。

Simplicial category は, \((\infty ,1)\)-category のモデルの一つだから, 一般の \((\infty ,1)\)-category に対する algebraic \(K\)-theory spectrum の構成を考えたくなるが, Toën と Vezzosi は simplicial category に対する構成を考えている。

\((\infty ,1)\)-category のモデルとしては quasicategory の方が一般的であるが, quasicategory に対する algebraic \(K\)-theory の構成は, Blumberg, Gepner, Tabuada の [BGT13] で得られている。

また, 彼等は stable \(\infty \)-category に対しては, algebraic \(K\)-theory が universal additive invariant であることを示している。

• algebraic \(K\)-theory of stable \(\infty \)-category

一般化としては, Barwick [Bar16] による Waldhausen category の \((\infty ,1)\)-version とそれに対する algebraic \(K\)-theory の構成もある。 Waldhausen category では, cofibration と weak equivalence を指定する必要があるが, weak equivalence の部分は quasicategory の構造に含まれているので, cofibration に対応する subcategory を指定するだけでよい。 同様のものは, Fiore, Lück, Pieper [FP19] により Waldhausen quasicategory として導入されている。Fiore らは, Barwick のものと同値であると言っている。

• Waldhausen \(\infty \)-category
• Waldhausen quasicategory

一方, Barwick は [Bar15] で, exact \(\infty \)-category の概念を導入し, その algebraic \(K\)-theory も定義している。 Devalapurkar [Dev] は Barwick の定義を少し修正し, exact \(\infty \)-category に対し stable \(\infty \)-category を対応させることを提案している。

• algebraic \(K\)-theory of exact \(\infty \)-category

Barwick は, Theorem of the Heart, つまり \(t\)-structure を持つ stable \(\infty \)-category とその heart は同じ algebraic \(K\)-theory を持つことを示している。

• theorem of the heart

このときの algebraic \(K\)-theory は connective な algebraic \(K\)-theory であるが, Antieau ら [AGH19] は, heart が Noetherian Abelian category である場合は, nonconnective \(K\)-theory に対しても成り立つことを示している。 しかし Ramzi ら [RSW] は, 一般には成り立たないことを示している。

Dyckerhoff と Kapranov [DK; DK19] は, Waldhausen の \(S_{\bullet }\)-construction を行なってできるものが unital \(2\)-Segal space の構造を持つことを発見している。 同様のことは, Gálvez-Carrillo と Kock と Tonks [GKT; GKT18a; GKT18b; GKT18c] によっても独立に発見されている。

その一般化を Bergner ら [Ber+21a] が導入している。 augmented stable double Segal space から unital 2-Segal space を作る構成である。 そして [Ber+21b] で, その構成がこれまで知られている構成, つまり exact category や stable \((\infty ,1)\)-category, exact \((\infty ,1)\)-categoryに対する \(S_{\bullet }\)-construction, そして exact functor に対する relative \(S_{\bullet }\)-construction を全て包括するものであることを示している。

• augmented stable double Segal space に対する \(S_{\bullet }\)-construction

References

[AGH19]

Benjamin Antieau, David Gepner, and Jeremiah Heller. “\(K\)-theoretic obstructions to bounded \(t\)-structures”. In: Invent. Math. 216.1 (2019), pp. 241–300. arXiv: 1610.07207. url: https://doi.org/10.1007/s00222-018-00847-0.

[Bar15]

Clark Barwick. “On exact \(\infty \)-categories and the theorem of the heart”. In: Compos. Math. 151.11 (2015), pp. 2160–2186. arXiv: 1212.5232. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007447.

[Bar16]

Clark Barwick. “On the algebraic \(K\)-theory of higher categories”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 245–347. arXiv: 1204.3607. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv042.

[Ber+21a]

Julia E. Bergner, Angélica M. Osorno, Viktoriya Ozornova, Martina Rovelli, and Claudia I. Scheimbauer. “2-Segal objects and the Waldhausen construction”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.3 (2021), pp. 1267–1326. arXiv: 1809.10924. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.1267.

[Ber+21b]

Julia E. Bergner, Angélica M. Osorno, Viktoriya Ozornova, Martina Rovelli, and Claudia I. Scheimbauer. “Comparison of Waldhausen constructions”. In: Ann. K-Theory 6.1 (2021), pp. 97–136. arXiv: 1901.03606. url: https://doi.org/10.2140/akt.2021.6.97.

[BGT13]

Andrew J Blumberg, David Gepner, and Gonçalo Tabuada. “A universal characterization of higher algebraic K-theory”. In: Geom. Topol. 17.2 (2013), pp. 733–838. arXiv: 1001.2282. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2013.17.733.

[Dev]

Sanath Devalapurkar. A variant of algebraic \(K\)-theory. arXiv: 1503.03362.

[DK]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I. arXiv: 1212.3563.

[DK19]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces. Vol. 2244. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xv+218. isbn: 978-3-030-27122-0; 978-3-030-27124-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-27124-4.

[FP19]

Thomas M. Fiore and Malte Pieper. “Waldhausen additivity: classical and quasicategorical”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.1 (2019), pp. 109–197. arXiv: 1207.6613. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0206-6.

[GKT]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. Decomposition Spaces, Incidence Algebras and Möbius Inversion. arXiv: 1404.3202.

[GKT18a]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion I: Basic theory”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 952–1015. arXiv: 1512.07573. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.016.

[GKT18b]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion II: Completeness, length filtration, and finiteness”. In: Adv. Math. 333 (2018), pp. 1242–1292. arXiv: 1512.07577. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.017.

[GKT18c]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion III: The decomposition space of Möbius intervals”. In: Adv. Math. 334 (2018), pp. 544–584. arXiv: 1512.07580. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.018.

[RSW]

Maxime Ramzi, Vladimir Sosnilo, and Christoph Winges. Every spectrum is the K-theory of a stable \(\infty \)-category. arXiv: 2401.06510.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.