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数学の本は, 大きく分けると以下の3種類になる, と思う。
- 辞書代わりに使う本
- 読み物として楽しむ本
- 紙とペンを用意して証明を追いながら読む本
辞書代わりに使える本で, 良い本を知っていると便利である。 代数的トポロジーでは読み物として楽しめる本はあまりないかもしれない。
最後の種類の本については, 敢て説明するまでもないだろう。
本に限らず, 論文や解説の類でも, もちろん, 知っておいた方がよいものはある。
辞書代わりに使う本
まず, 代数的トポロジーの基本が書いてある本として有名なのは, 以下のものである:
- Spanier “Algebraic Topology” [Spa81]
- J.P. May “A Concise Course in Algebraic Topology” [May99]
- May and Ponto “More Concise Course in Algebraic Topology” [MP12]
- Gray “Homotopy Theory” [Gra75]
- Whitehead “Elements of Homotopy Theory” [Whi78]
- 小松, 中岡, 菅原 「位相幾何学I」[小中菅67]
- 中岡 「位相幾何学 — ホモロジー論 —」[中岡稔70]
- 西田 「ホモトピー論」[西田吾85]
これらは辞書代わりに使うのが良いだろう。もっとも, Mayの“Concise Course” やその続編 “More Concise
Course” はセミナーのテキストとして使ってもよいと思う。
他にも数多くの教科書がある。次の本は, 私が留学中には Rochester 大学でトポロジーの授業の教科書として使われていた。アメリカの他の大学でも
よく教科書として使われているようである。
- Greenberg and Harper “Algebraic Topology” [GH81]
最近は web から download できるものもある。次の Hatcher の本である。最初に挙げた May の本も, 最近
PDFファイルを download できるようになったようである。
- Hatcher “Algebraic Topology” [Hat02]
他には, Massey の本 [Mas77; Mas91] や Maunder の本 [Mau96] がある。最近, Dold の本 [Dol95]
や Switzer の本 [Swi02] が “Classics” として Springer から再版された。 まだまだ他にもあるので,
各自図書館で探してみて欲しい。
より専門的な本としては以下のものがある。これらも手元に置いておくとよい。
- Mac Lane “Category for the Working Mathematicians” [Mac98]
- McCleary “A User’s Guide to Spectral Sequences” [McC01]
代数的トポロジーでは, 圏と関手の言葉をよく使うので, 辞書として Mac Lane の本を使うとよいだろう。
McCleary の本は, スペクトル系列の専門書であるが, 代数的トポロジー全般について様々な話題を取り扱っている。
また歴史的な側面を考慮してある点も評価できる。
歴史といえば, 次のような本もある。
- Dieudonné “A History of Algebraic and Differential Topology” [Die89]
- 斉藤 “ポアンカレ トポロジー” [斉藤利96]
Dieudonné の本は, 古典的な結果を調べる際にも役に立つ。
読み物として楽しむ本
寝転がって読んで楽しめる本はあまりない。強いて挙げれば Dieudonnéの “A History of Algebraic and
Differential Topology” [Die89] だろうか。
他の分野の本だと, 個人的には次の二つの本が「読み物」としてお勧めである:
- Thomas M. Thompson, “From error-correcting codes through sphere
packings to simple groups” [Tho83]
- Frenkel, Lepowsky, and Meurman, “Vertex operator algebras and the
Monster” [FLM88]
その他数学を勉強/研究する上で役に立つ文献
Marcolliが, 数学の講演をするときの注意を この lecture note にまとめている。自分の仕事を他の人に分かってもらうための方法として,
論文を発表する以外にセミナーや集会で講演することは重要である, という立場で書かれている。話の種類別に書いてあってとても参考になる。
References
-
[Die89]
-
Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology.
1900–1960. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1989, pp. xxii+648.
isbn: 0-8176-3388-X.
-
[Dol95]
-
Albrecht Dold. Lectures on algebraic topology. Classics in
Mathematics. Reprint of the 1972 edition. Berlin: Springer-Verlag,
1995, pp. xii+377. isbn: 3-540-58660-1.
-
[FLM88]
-
Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman. Vertex operator
algebras and the Monster. Vol. 134. Pure and Applied Mathematics.
Boston, MA: Academic Press Inc., 1988, pp. liv+508. isbn:
0-12-267065-5.
-
[GH81]
-
Marvin J. Greenberg and John R. Harper. Algebraic topology.
Vol. 58. Mathematics Lecture Note Series. A first course. Reading,
Mass.: Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc. Advanced Book
Program, 1981, xi+311 pp. (loose errata). isbn: 0-8053-3558-7;
0-8053-3557-9.
-
[Gra75]
-
Brayton Gray. Homotopy theory. An introduction to algebraic
topology, Pure and Applied Mathematics, Vol. 64. New York:
Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1975,
pp. xiii+368.
-
[Hat02]
-
Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University
Press, 2002, pp. xii+544. isbn: 0-521-79160-X; 0-521-79540-0.
-
[Mac98]
-
Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician.
Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York:
Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.
-
[Mas77]
-
William S. Massey. Algebraic topology: an introduction. Reprint of
the 1967 edition, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. New York:
Springer-Verlag, 1977, xxi+261 pp. ISBN 0-387-90271–6.
-
[Mas91]
-
William S. Massey. A basic course in algebraic topology. Vol. 127.
Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1991,
pp. xvi+428. isbn: 0-387-97430-X.
-
[Mau96]
-
C. R. F. Maunder. Algebraic topology. Reprint of the 1980 edition.
Mineola, NY: Dover Publications Inc., 1996, pp. viii+375. isbn:
0-486-69131-4.
-
[May99]
-
J. P. May. A concise course in algebraic topology. Chicago Lectures
in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999,
pp. x+243. isbn: 0-226-51182-0.
-
[McC01]
-
John McCleary. A user’s guide to spectral sequences. Second.
Vol. 58. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge:
Cambridge University Press, 2001, pp. xvi+561. isbn: 0-521-56759-9.
-
[MP12]
-
J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology.
Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and
model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012,
pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.
-
[Spa81]
-
Edwin H. Spanier. Algebraic topology. Corrected reprint. New York:
Springer-Verlag, 1981, pp. xvi+528. isbn: 0-387-90646-0.
-
[Swi02]
-
Robert M. Switzer. Algebraic topology—homotopy and homology.
Classics in Mathematics. Reprint of the 1975 original [Springer,
New York; MR0385836 (52 #6695)]. Springer-Verlag, Berlin, 2002,
pp. xiv+526. isbn: 3-540-42750-3.
-
[Tho83]
-
Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere
packings to simple groups. Vol. 21. Carus Mathematical Monographs.
Washington, DC: Mathematical Association of America, 1983,
pp. xiv+228. isbn: 0-88385-023-0.
-
[Whi78]
-
George W. Whitehead. Elements of homotopy theory. Vol. 61.
Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978,
p. xxi 744. isbn: 0-387-90336-4.
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[中岡稔70]
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中岡稔. 位相幾何学 — ホモロジー論 —. Vol. 15. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1970.
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[小中菅67]
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小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.
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[斉藤利96]
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斉藤利弥. ポアンカレ トポロジー. 数学史叢書. 東京: 朝倉書店, 1996.
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[西田吾85]
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西田吾郎. ホモトピー論. Vol. 16. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1985.
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