Proper Homotopy Theory

位相空間と連続写像の成す圏を調べるための枠組みは, noncompact な空間を調べるためには不都合なことも多い。例えば, noncompact な多様体に対しては, コホモロジーとして compact support を持つコホモロジーを使うべきであるが, Garcia-Calcines と Garcia-Diaz と Murillo の [GGM14] の Introduction に書かれているように, 残念ながら compact support のコホモロジーを Eilenberg-Mac Lane 空間で表現することはできない。

そのために, noncompact な空間に対しては, 連続写像や連続なホモトピーを全て許すのではなく, proper なもののみ考えることが行なわれている。

• proper map
• proper homotopy
• proper homotopy equivalence

そのような圏でホモトピー論を行なうことを proper homotopy theory という, らしい。 解説としては, Porter の [Por95] がある。

最近の枠組みとしては, Garcia-Calcines らの [GGH98; GGH04] がある。そこでは, proper map の圏を complete かつ cocomplete に拡張した exterior category が導入されている。その上に compact support コホモロジーを拡張したものは, exterior cohomology と呼ばれている。

• exterior category
• exterior cohomology

Garcia-Calcines と Garcia-Diaz と Murillo の [GGM14]は, その表現可能性を調べたものである。

古典的なホモトピー論の類似としては, 例えば Lusternik-Schnirelmann category の proper版が考えられている。

• proper Lusternik-Schnirelmann category [CLQ12; CLQ13]

当然, noncompact group の作用を考えるときには, proper action を使う必要がある。

• proper action

References

[CLQ12]

Manuel Cárdenas, Francisco F. Lasheras, and Antonio Quintero. “Detecting cohomology classes for the proper LS category. The case of semistable 3-manifolds”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 152.2 (2012), pp. 223–249. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004111000417.

[CLQ13]

M. Cárdenas, F. F. Lasheras, and A. Quintero. “The proper Lusternik-Schnirelmann category of semistable one-ended 3-manifolds”. In: Topology Appl. 160.5 (2013), pp. 720–729. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2013.01.012.

[GGH04]

J. M. Garcia-Calcines, M. Garcia-Pinillos, and L. J. Hernandez-Paricio. “Closed simplicial model structures for exterior and proper homotopy theory”. In: Appl. Categ. Structures 12.3 (2004), pp. 225–243. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:APCS.0000031087.83413.a4.

[GGH98]

J. M. García-Calcines, M. García-Pinillos, and L. J. Hernández-Paricio. “A closed simplicial model category for proper homotopy and shape theories”. In: Bull. Austral. Math. Soc. 57.2 (1998), pp. 221–242. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0004972700031610.

[GGM14]

J. M. García-Calcines, P. R. García-Díaz, and A. Murillo. “Brown representability for exterior cohomology and cohomology with compact supports”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 90.1 (2014), pp. 184–196. arXiv: 1403.6616. url: https://doi.org/10.1112/jlms/jdu024.

[Por95]

Tim Porter. “Proper homotopy theory”. In: Handbook of algebraic topology. North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 127–167. url: https://doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50004-3.