Euclid 空間への k-regular embedding

埋め込み \(f : X \to Y\) からは, configuration space の間の写像 \(\mathrm{Conf}_k(X) \to \mathrm{Conf}_k(Y)\) が誘導される。\(Y=\R ^m\) のときには, \(\mathrm{Conf}_k(X)\) の点 \((x_1,\ldots ,x_k)\) の像 \((f(x_1),\ldots ,f(x_k))\) に affine 独立とか \(1\)次独立などの条件を要求することが考えられる。そのような \(f\) のことを affinely \(k\)-regular embedding とか linearly \(k\)-regular embedding という。

• affinely \(k\)-regular embedding

Karasev の [Kar] によると, Borsuk の [Bor57] で考えられたのが最初のようである。

\(X=\R ^n\) の場合には, Fred Cohen と Handel [CH78] (\(n=2\)) や Chisholm [Chi79] により調べられている。 他に文献としては, Handel の [Han96] などがある。

Karasev [Kar] によると, \(k\)-regular embedding の存在する Euclid空間の次元を下から評価するときには, [CH78] で使われている bundle \[ \mathrm{Conf}_k(X)\times _{\Sigma _k} \R ^k \longrightarrow \mathrm{Conf}_k(X)/\Sigma _k \] が有用なようである。

Blagojević, Lück, Ziegler [BLZ16] は, それを skew embedding や, regular skew embedding などへ拡張している。

• \(\ell \)-skew embedding
• \(\ell \)-skew \(k\)-regular embedding

Blagojevićら は, Fred Cohen と共に [Bla+16] で複素数体上の \(k\)-regular embedding や \(\ell \)-skew embedding などの存在を調べている。

References

[Bla+16]

Pavle V. M. Blagojević, Frederick R. Cohen, Wolfgang Lück, and Günter M. Ziegler. “On complex highly regular embeddings and the extended Vassiliev conjecture”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 20 (2016), pp. 6151–6199. arXiv: 1410.6052. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnv341.

[BLZ16]

Pavle V. M. Blagojević, Wolfgang Lück, and Günter M. Ziegler. “On highly regular embeddings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 368.4 (2016), pp. 2891–2912. arXiv: 1305.7483. url: https://doi.org/10.1090/tran/6559.

[Bor57]

K. Borsuk. “On the \(k\)-independent subsets of the Euclidean space and of the Hilbert space”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III. 5 (1957), pp. 351–356, XXIX.

[CH78]

F. R. Cohen and D. Handel. “\(k\)-regular embeddings of the plane”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 72.1 (1978), pp. 201–204. url: http://dx.doi.org/10.2307/2042564.

[Chi79]

Michael E. Chisholm. “\(k\)-regular mappings of \(2^{n}\)-dimensional Euclidean space”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 74.1 (1979), pp. 187–190. url: http://dx.doi.org/10.2307/2042128.

[Han96]

David Handel. “\(2k\)-regular maps on smooth manifolds”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 124.5 (1996), pp. 1609–1613. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-96-03179-6.

[Kar]

R. N. Karasev. Regular embeddings of manifolds and topology of configuration spaces. arXiv: 1006.0613.